如何用曲线长度积分公式来计算圆的周长?
曲线长度
曲线长度积分计算公式:
我们先热身一下, 看如何计算普通曲线方程 上[1,4]区间的曲线长度.
我们从求微分公式
得到:
带入公式:
我们先只关注根号内部分,:
由于 和, 我们求 就相当于求 的范围. 把这个 dx 结果带入到上面公式:
通过查积分表得到对应的求积分公式:
更多求积分的公式点这里
带入并将 u 替换为 1~10 的差:
关于求积分公式
回顾一下积分的定义. 右侧 是原函数, 左侧 是积分函数, 也是原函数的导数函数.
积分函数下面的区间的面积与原函数高度差对应; 原函数的某点斜率 (导数) 与积分函数的高度值对应. 表达成公式有两个函数的关系是:
这里我们注意到, 如果我们把整个 的曲线向上或者向下平移, 那么高度差不变, 斜率也不变, 两个函数直接的对应关系也不变.
所以在这里,实际是和 对应的, 因此我们也就在求积分公式中经常见到 C, 表示原函数不只一个而是很多个. 但这对于求固定区间的定积分没有影响, 就像上面我们直接把 10 和 1 代入公式而忽略了 C.
积分求圆周长
首先我们知道单位圆上面一半的函数是, 如下图:
整个圆也可以写成参数方程的形式:
如图所示:
回顾我们的曲线长度计算公式文章, 我们有:
因此圆的周长就是:
另外我们有求微分公式:
带入得到:
这实际上是对 求的定积分, 如下图:
对应的求积分公式是:
所以 得到:
来源: http://www.jianshu.com/p/4436d3c06807