高尔顿钉板
弗朗西斯科高尔顿 Francis Galton
19 世纪的科学家弗朗西斯高尔顿, 他是进化论创立者查尔斯达尔文的表弟. 高尔顿以其优生学 Eugenics 而闻名, 另外, 他也是一名社会学家, 是第一个将统计方法应用于人类智能差异研究的学者.
上面图片是高尔顿用来演示现实生活中的随机分布情况的装置, 叫做高尔顿钉板.[你可以从这个腾讯视频中看到它的运作原理].
如下图所示:
顶部落下的每个深色小球, 遇到很多小障碍物(白色小圈), 随机的左右弹跳, 最终落到下面的竖槽中.
当小球越来越多的落下时, 底部各个竖槽积累的小球数量就会呈现中间多两侧少两端更少的分布情况.
我们换个说法: 当每个人来到这个世界的时候, 都是一样从上往下落, 每天都会遇到不同的问题, 不同的选择, 向左还是向右? 越来越多的选择让我们每个人有了不同的人生轨道, 但是最终, 绝大多数人都落在了中间, 成为普普通通或者碌碌无为的人, 只有少数经过很多次正确选择的人, 走到了右边成为杰出的成功者, 也有另一些少数人总是做了太多糟糕的选择, 走到了左端成为了失败者甚至犯罪者.
人生哲学和鸡汤卖完之后, 我们来看看背后的科学意义.
现实中的随机
我们之前讨论随机问题的时候, 提到真随机应该是均匀分布的, 扔 6 万次骰子, 就会有 1 万次扔出 6 点, 1 万次扔出 5 点...
但很多现实情况都不是均匀的, 而是有浓有淡的迷雾团.
不均匀, 在统计学中是一种常态, 反而是均匀的情况很少见, 是过于理想的情况.
比如统计一下 18 岁男青年的身高, 如果平均身高是 170cm 的话, 你会发现他们当中绝大多数人的身高都在 170cm 上下, 可能有超过一半的人身高在 165~175 之间, 矮于 165 的不多, 高于 175 的也不多.
这和我们按照均匀分布的期望完全不同, 因为按照均匀期望的话似乎应该 155165 的人数, 与 165175 的人数应该差不多, 也和 175~185 的人数差不多.
正态分布 Normal distribution
标准的正态分布就是我们上面说到的中间多两边少的曲线分布, 从下图可以看到它遵循 68-95-99.7 规则.
我们用μ(音 miu)表示身高平均数,δ(音 xigema)表示某个身高和μ的距离. 这样我们就可以说:
总人数中 68.5% 的人身高在μ-δ到μ+δ之间;
总人数中 95% 的人身高在μ-2δ到μ+2δ之间;
总人数中 99.7% 的人身高在μ-3δ到μ+3δ之间;
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