link: https://www.luogu.org/problemnew/show/P2766
题意
给定正整数序列 x1,...,xn .
(1)计算其最长不下降子序列的长度 s.
(2)计算从给定的序列中最多可取出多少个长度为 s 的不下降子序列.
(3)如果允许在取出的序列中多次使用 x1 和 xn, 则从给定序列中最多可取出多少个长度为 s 的不下降子序列.
设计有效算法完成 (1)(2)(3) 提出的计算任务.
思路
题解来自网络流 24 题:
[问题分析]
第一问是 LIS, 动态规划求解, 第二问和第三问用网络最大流解决.
[建模方法]
首先动态规划求出 F[i], 表示以第 i 位为开头的最长上升序列的长度, 求出最长上升序列长度 K.
1, 把序列每位 i 拆成两个点 < i.a > 和 < i.b>, 从 < i.a > 到 < i.b > 连接一条容量为 1 的有向边.
2, 建立附加源 S 和汇 T, 如果序列第 i 位有 F[i]=K, 从 S 到 < i.a > 连接一条容量为 1 的有向边.
3, 如果 F[i]=1, 从 < i.b > 到 T 连接一条容量为 1 的有向边.
4, 如果 j>i 且 A[i] <= A[j]且 F[j]+1=F[i], 从 < i.b > 到 < j.a > 连接一条容量为 1 的有向边.
求网络最大流, 就是第二问的结果. 把边 (<1.a>,<1.b>)(<N.a>,<N.b>)(S,<1.a>)(<N.b>,T) 这四条边的容量修改为无穷大, 再求一次网络最大流, 就是第三问结果.
实际操作中, 直接在原图中增加容量为 inf 的边即可.
[建模分析]
上述建模方法是应用了一种分层图的思想, 把图每个顶点 i 按照 F[i]的不同分为了若干层, 这样图中从 S 出发到 T 的任何一条路径都是一个满足条件的最长上升子序列.
由于序列中每个点要不可重复地取出, 需要把每个点拆分成两个点. 单位网络的最大流就是增广路的条数, 所以最大流量就是第二问结果.
第三问特殊地要求 x1 和 xn 可以重复使用, 只需取消这两个点相关边的流量限制, 求网络最大流即可.
- #include <algorithm> #include <iterator> #include <iostream> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <iomanip> #include <bitset> #include <cctype> #include <cstdio> #include <string> #include <vector> #include <stack> #include <cmath> #include <queue> #include <list> #include <map> #include <set> #include <cassert>
- /*
- _ヽ
- \\ Λ_Λ 来了老弟
- \('?')
- > ⌒ヽ
- / へ\
- // \\
- ? ノ ヽ_つ
- //
- //|
- ( (ヽ
- | |,\
- | 丿 \ ⌒)
- | | ) /
- 'ノ ) L?
- */
- using namespace std;#define lson(l, mid, rt <<1)#define rson(mid + 1, r, rt << 1 | 1)#define debug(x) cerr << #x << "=" << x << "\n";#define pb push_back#define pq priority_queue typedef long long ll;
- typedef unsigned long long ull;
- //typedef __int128 bll;
- typedef pair < ll,
- ll> pll;
- typedef pair <int,
- int> pii;
- typedef pair <int,
- pii> p3;
- //priority_queue<int> q;// 这是一个大根堆 q
- //priority_queue<int,vector<int>,greater<int>>q;// 这是一个小根堆 q
- #define fi first#define se second
- //#define endl '\n'
- #define boost iOS: :sync_with_stdio(false);
- cin.tie(0)#define rep(a, b, c) for (int a = (b); a <= (c); ++a)#define max3(a, b, c) max(max(a, b), c);#define min3(a, b, c) min(min(a, b), c);
- const ll oo = 1ll <<17;
- const ll mos = 0x7FFFFFFF; //2147483647
- const ll nmos = 0x80000000; //-2147483648
- const int inf = 0x3f3f3f3f;
- const ll inff = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f; //18
- const int mod = 1e9 + 7;
- const double esp = 1e-8;
- const double PI = acos( - 1.0);
- const double PHI = 0.61803399; // 黄金分割点
- const double tPHI = 0.38196601;
- template < typename T> inline T read(T & x) {
- x = 0;
- int f = 0;
- char ch = getchar();
- while (ch <'0' || ch> '9') f |= (ch == '-'),
- ch = getchar();
- while (ch>= '0' && ch <= '9') x = x * 10 + ch - '0',
- ch = getchar();
- return x = f ? -x: x;
- }
- inline void cmax(int & x, int y) {
- if (x <y) x = y;
- }
- inline void cmax(ll & x, ll y) {
- if (x < y) x = y;
- }
- inline void cmin(int & x, int y) {
- if (x> y) x = y;
- }
- inline void cmin(ll & x, ll y) {
- if (x> y) x = y;
- }
- /*-----------------------showtime----------------------*/
- const int maxn = 509;
- int a[maxn],
- dp[maxn];
- struct E {
- int u,
- v,
- w;
- int nxt;
- }
- edge[10 * maxn * maxn];
- int head[maxn * 20],
- gtot = 0;
- void addedge(int u, int v, int w) {
- edge[gtot].u = u;
- edge[gtot].v = v;
- edge[gtot].w = w;
- edge[gtot].nxt = head[u];
- head[u] = gtot++;
- edge[gtot].u = v;
- edge[gtot].v = u;
- edge[gtot].w = 0;
- edge[gtot].nxt = head[v];
- head[v] = gtot++;
- }
- int dis[maxn * 20],
- cur[maxn * 20];
- bool bfs(int s, int t) {
- memset(dis, inf, sizeof(dis));
- for (int i = s; i <= t; i++) cur[i] = head[i];
- dis[s] = 0;
- queue <int> que;
- que.push(s);
- while (!que.empty()) {
- int u = que.front();
- que.pop();
- for (int i = head[u];~i; i = edge[i].nxt) {
- int v = edge[i].v,
- w = edge[i].w;
- if (w> 0 && dis[v]> dis[u] + 1) {
- dis[v] = dis[u] + 1;
- que.push(v);
- }
- }
- }
- return dis[t] <inf;
- }
- int dfs(int u, int t, int maxflow) {
- if (u == t || maxflow == 0) return maxflow;
- for (int i = cur[u];~i; i = edge[i].nxt) {
- cur[u] = i;
- int v = edge[i].v,
- w = edge[i].w;
- if (w> 0 && dis[v] == dis[u] + 1) {
- int f = dfs(v, t, min(w, maxflow));
- if (f> 0) {
- edge[i].w -= f;
- edge[i ^ 1].w += f;
- return f;
- }
- }
- }
- return 0;
- }
- int dinic(int s, int t) {
- int flow = 0;
- while (bfs(s, t)) {
- while (int f = dfs(s, t, inf)) flow += f;
- }
- return flow;
- }
- int main() {
- memset(head, -1, sizeof(head));
- int n,
- k = 0;
- scanf("%d", &n);
- rep(i, 1, n) scanf("%d", &a[i]);
- rep(i, 1, n) {
- int mx = 0;
- for (int j = 1; j < i; j++) if (a[j] <= a[i]) cmax(mx, dp[j]);
- dp[i] = mx + 1;
- cmax(k, dp[i]);
- }
- printf("%d\n", k);
- int s = 0,
- t = n + n + 1;
- rep(i, 1, n) {
- addedge(i, i + n, 1);
- if (dp[i] == k) addedge(i + n, t, 1);
- if (dp[i] == 1) addedge(s, i, 1);
- }
- for (int i = 1; i <= n; i++) {
- for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
- if (a[i] <= a[j] && dp[j] == dp[i] + 1) addedge(i + n, j, 1);
- // 这里注意还要判断 a[i] <= a[j]
- }
- }
- int res = dinic(s, t);
- printf("%d\n", res);
- if (dp[1] == 1) addedge(s, 1, inf),
- addedge(1, 1 + n, inf);
- if (dp[n] == k) addedge(n, n + n, inf),
- addedge(n + n, t, inf);
- printf("%d\n", dinic(s, t) + res);
- return 0;
- }
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来源: http://www.bubuko.com/infodetail-2950623.html