更多的导数例子(More Derivative Examples)
在这篇笔记中将给出一个更加复杂的例子, 在这个例子中, 函数在不同点处的斜率是不一样的, 先来举个例子:
我在这里画一个函数, f(a)=a^2, 如果 a=2 的话, 那么 f(a)=4.
让我们稍稍往右推进一点点, 现在 a=2.001 , 则 f(a)≈4.004 (如果你用计算器算的话, 这个准确的值应该为 4.004001 我只是为了简便起见, 省略了后面的部分),
如果你在这儿点附近画, 一个小三角形你就会发现, 如果把 a 往右移动 0.001, 那么 f(a)将增大四倍, 即增大 0.004.
在微积分中我们把这个三角形斜边的斜率, 称为 f(a)在点 a=2 处的导数(即为 4),
或者写成微积分的形式, 当 a=2 的时候,
由此可知, 函数 f(a)=a^2, 在 a 取不同值的时候, 它的斜率是不同的, 这和上个视频中的例子是不同的.
这里有种直观的方法可以解释, 为什么一个点的斜率, 在不同位置会不同如果你在曲线上, 的不同位置画一些小小的三角形你就会发现, 三角形高和宽的比值, 在曲线上不同的地方, 它们是不同的.
所以当 a=2 时, 斜率为 4;
而当 a=5 时, 斜率为 10 .
如果你翻看微积分的课本, 课本会告诉你, 函数 f(a)=a^2 的斜率 (即导数) 为 2a.
这意味着任意给定一点 a, 如果你稍微将 a, 增大 0.001, 那么你会看到 f(a)将增大 2a, 即增大的值为点在 a 处斜率或导数, 乘以你向右移动的距离.
现在有个小细节需要注意, 导数增大的值, 不是刚好等于导数公式算出来的值, 而只是根据导数算出来的一个估计值.
为了总结这堂课所学的知识, 我们再来看看几个例子:
假设 f(a)=a^3 如果你翻看导数公式表, 你会发现这个函数的导数, 等于 3a^2.
所以这是什么意思呢, 同样地举一个例子:
我们再次令 a=2, 所以 a^3=8 , 如果我们又将 a 增大一点点, 你会发现 f(a)≈8.012, 你可以自己检查一遍, 如果我们取 8.012, 你会发现[2.001]^3 , 和 8.012 很接近,
事实上当 a=2 时, 导数值为 3*2^2, 即 3*4=12.
所以导数公式, 表明如果你将 a 向右移动 0.001 时, f(a) 将会向右移动 12 倍, 即 0.012.
来看最后一个例子, 假设 f(a)=log_e a(就是 log 以自然数 e 为底, a 的函数), 有些可能会写作 lna, 函数 loga 的斜率应该为 1/a(学过高中数学或者微积分的人应该不陌生)
所以我们可以解释如下:
如果 a 取任何值, 比如又取 a=2, 然后又把 a 向右边移动 0.001 那么 f(a)将增大 1/a*0.001, 如果你借助计算器的话, 你会发现当 a=2 时 f(a)≈0.69315 ;
而 a=2.001 时, f(a)≈0.69365. 所以 f(a)增大了 0.0005,
如果你查看导数公式, 当 a=2 的时候, 导数值 d/da f(a)=1/2.
这表明如果你把 增大 0.001,f(a)将只会增大 0.001 的二分之一, 即 0.0005.
如果你画个小三角形你就会发现, 如果 x 轴增加了 0.001, 那么 y 轴上的函数 loga, 将增大 0.001 的一半 即 0.0005.
所以 1/a , 当 a=2 时这里是 , 就是当 a=2 时这条线的斜率. 这些就是有关, 导数的一些知识.
在这个笔记中, 你只需要记住两点:
第一点, 导数就是斜率, 而函数的斜率, 在不同的点是不同的.
在第一个例子中 f(a)=3a , 这是一条直线, 在任何点它的斜率都是相同的, 均为 3.
但是对于函数 f(a)=a^2 , 或者 f(a)=loga, 它们的斜率是变化的, 所以它们的导数或者斜率, 在曲线上不同的点处是不同的.
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