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量子场论(0)
量子场论(1)
量子场论(2)
量子场论(3)
量子场论(4)
量子场论(5)
本次内容: 结合前几次的内容, 给出量子场论的两种公理, 并在此基础上讨论自由量子场
(开始之前需要说明的是: 这里我打算倒着写如果有兴趣浏览的话, 一定要先熟悉自由场的正则量子化哦
还有, 遗憾的是, 这里的内容有些太多了, 我不得不把它拆成两部分很多自由量子场中重要的物理概念, 如粒子与反粒子, 自旋统计定理, CPT 定理之类的问题, 就只能留到下次了
最后, 承接我们之前所讨论的内容, 这里严格的使用 distribution(广义函数)来构造 QFT 是很方便的, 也是很必要的不过这样一来熟悉物理上不规范的 函数那一套写法的朋友肯定是看不惯的所以, 我们在讨论具体的自由量子场时会说明两种表述的关系, 并且指出在使用物理表述时需要注意的地方)
由于这次内容比较多, 先写一个小目录吧
一, Wightman axioms
二, Locality axioms
三, Reconstruction of QFT
四, 自由量子场
五, HHW 定理
六, 场的正则量子化
一, Wightman axioms:
和量子力学一样, 量子场论的基本假设也可以归纳为几条公理好消息是, 这些公理对于自由场来说是完全 OK 了; 坏消息是, 当面对相互作用场时存还在很多尚未解决的问题
1, 构造的原料:
在讨论自由量子场的构造之前, 先回顾一下我们之前讨论的内容是很必要的, 它们是构造量子场论的原料换句话说, 我们把这些原料拼凑在一起, 就可以构造出量子场论
(1)单粒子态: 对于单粒子态 Hilbert space , 为了满足狭义相对性原理, 上必须存在 的不可约酉表示 这个不可约酉表示 可以通过单粒子自旋空间 上 little group 的表示 诱导而来
(2)Fock space: 多粒子态的 Hilbert space 是 Fock space , 其上存在 的可约酉表示 其稠密子空间为 , 即有限粒子数的 Fock space 且 Fock space 上存在唯一 vacuum
(3)产生湮灭算符: 产生湮灭算符 可以看做是 上的 operator-value distribution, 它们的集合构成 Heisenberg 代数 中元素作用在 vacuum 上可以张开成整个 , 即在 Fock space 中稠密
(4)力学量: 通过产生湮灭算符 可以定义粒子数算符 , 进而多粒子系统的力学量 可以间接通过产生湮灭算符 构造, 例如: 零自旋自由粒子的哈密顿量
(物理上通过产生湮灭算符来构造力学量的一个重要动机是, 这样可以使散射算符 可以自动满足集团分解原理)
下面呢, 我们就利用这些原料来构造出量子场论, 实际上你会发现, 我们只需要把它们拼凑起来再整合一下就 OK 了
2,Wightman axioms:
对上述原料进行加工和构造, 我们给出 Wightman axioms 的具体内容:
(1)vacuum: 对于 Hilbert space , 其中存在唯一的 , 使得 我们称 为系统的 vacuum
注: 很显然这条公理来源于 Fock space 中 vacuum, 与 vacuum 在洛伦兹变换下的不变性
(2)场算符 a: 存在 上的 operator-value distribution ( ), 将函数 映射为 中的线性算子,
注: 历史上看, 我们通过对波动方程做正则量子化来引入场算符, 这里场算符可表示为产生湮灭算符的函数, 进而系统的力学量也可写为场算符的函数
(3)场算符 b: 对于矢量
(其中
), 其在 Hilbert space 中稠密
注: 场算符 作为产生湮灭算符的函数, 其作用在 vacuum 上的值域与产生湮灭算符相同, 需要张成整个 , 即在 中稠密
(4)洛伦兹不变性: 为保证狭义相对性原理成立, 场算符 在洛伦兹变换 下需满足:
注: 如果我们把场算符写成算符值函数 (使用时要注意它实际上是 distribution 而不是函数) 的样子, 上式可写为:
, 这就是我们通常所熟悉的满足洛伦兹协变性的量子场
(5)能谱: 时空平移酉算子 的生成元 两两对易, 故其存在共同的谱, 利用谱定理我们可以将其写为:
其谱集应落在光锥的未来部分或者等价的, 四维动量算符 及其平方算符正定
注: 单粒子的能谱为 , 这是光速不变原理的要求很显然多粒子系统的能谱也应落至光锥的未来部分
(6)因果性: 当 为类空间隔时, 场算符需满足:
玻色子:
;
费米子:
注: 这也是光速不变原理 (因果性) 的要求两个类空间隔的时空点之间, 不可以产生任何影响, 否则将会破坏因果性
(上面, 我们利用 distribution 给了场算符一个严格的表述, 在具体讨论自由场问题时, 我们可以给出熟悉的使用 函数的物理表述)
二, Locality axioms:
下面我们给出量子场论的另一种公理化表述, 基于相对论因果性 (光速不变原理) 的 Locality axioms 同上, 在给出具体内容之前, 我们依然需要回顾以前熟悉的东西, 作为构造量子场论的原料
1, 原料:
(1)C* 代数: 我们在寻找 CCR 代数表示时, 为了规避无界算子的麻烦定义了 Weyl 代数:
, 相应的任务变为寻找 Weyl 代数的不可约且关于参数强连续的表示结果是, 所有这样的表示和薛定谔表示等价, 即不同的表示在物理上给出相同的结果, 由此也就证明波动力学与矩阵力学的等价性由此, 我们可以定义力学量的集合构成一个非对易 C* 代数
(2)GNS 构造: 对于非对易 C * 代数 , 我们考虑其 GNS 构造就可以得到: 可分 Hilbert space; 力学量的算符表示, 以及力学量的期望值 (C * 代数上的态) 具体来说:
期望值为: , 即为力学量的算符表示相应的, 对于某个量子力学系统, 其中的信息可以包含在某个可分非对易的 C * 代数 中
(3)Algebra net: 在量子场论中, 很显然力学量是依赖时空的此时力学量的集合不再是单一的 C * 代数 , 我们定义 Algebra net: 作为力学量的集合
2,Locality axioms:
下面我们给出 Locality axioms 的内容:
(1)子系统: , 则:
(2)因果性: 如果 和没有类时曲线相连, 则:
(3)能谱: 对于 Algebra net:上的一族忠实表示,
满足:
, 其中 四维动量算符 的谱集 落在光锥的未来部分
(4)协变性: 考虑庞加莱群诱导的微分同胚,, 相应的代数同构为:
此时, 若, 则有:
如上, 不难看出, 这里的 Algebra net 可以被定义为一个时空范畴 到力学量范畴 的一个 functor
三, Reconstruction of QFT:
1,QM 与 QFT:
正如上面所说的那样, 量子力学可以概括性的表述为 即态矢空间 Hilbert space 与 上的自伴算子 (力学量) 如果我们知道了力学量的期望值 , 我们就可以利用 GNS 构造来构造出量子力学
对于量子场论而言, 可以概括为 即系统的 Hilbert space 与其稠密子空间 , 场算符 , 以及相应的 vacuum: 现在, 考虑这样一个问题, 和量子力学一样, 如果我们知道了场算符的期望值, 能不能重新构造出相应的量子场论 来呢? 下面, 我们以标量场为例来讨论这个问题
2,Wightman distribution:
量子场论中, 我们会重点关注场算符在 vacuum 中的期望值, 我们称之为 Wightman distribution 具体定义如下:
Distribution:
, 满足条件:
(1)洛伦兹协变性:
(2)能谱: 假设 test function 的傅里叶变换为 , 那么:
若 , 有: , 则:
(3)厄米性:
(4)因果性: 若 test function 与 之间存在类空间隔, 则:
(5)正定性: 对于
, 则:
(6)集团分解原理: 对于类空时空点 ,Wightman distribution 满足:
, 这里集团分解原理的物理意义是: 距离很远的两个实验是不可以相互影响的 (不然还做个毛啊) 在通常的多粒子散射理论中可以发现, 如果我们用产生湮灭算符来构造力学量的话, 散射算符 会自动满足这一原理, 而 正是联系着实验结果的物理量
3,Reconstruction theorem:
这里我们直接给出定理的结果: 给定一族 Wightman distribution , 其满足上述的六个条件那么存在满足 Wightman axioms 的标量场 与之对应, 且相互等价
四, 自由量子场:
这里我们来讨论具体的自由量子场, 它们分别对应 和 的粒子, 在第二节中我们通过 的诱导表示给出了这些单粒子态, 以及它们满足的方程
1, 标量场:
(1)单粒子态: 标量场对应于 little group 在自旋空间 上的平凡表示 的诱导表示给出的单粒子态相应的单粒子 Hilbert space 为 , 上的洛伦兹不变测度为 , 满足 Klein-Gordon 方程这里的单粒子 Hilbert space 可以选取不同的表象, 动量和坐标表象之间由傅里叶变换:
相联系我们将其记为:
(2)场算符: 构造玻色子的 Fock space (以及其上的产生湮灭算符)作为 Wightman axioms 中系统的状态空间 , 相应的其稠密子空间即为有限粒子数 Fock space 由此, 我们可以定义 上的 operator-value distribution 为:
很显然, 这就是 Klein-Gordon 方程的一个 distribution solution
(3)物理表述: 现在, 我们来看看如何从严格的构造中, 得出不那么规范的物理语言具体方法如下:
首先, 我们需要将单粒子态空间从 变为 , 这个很简单, 我们只需做一个简单的投影映射: , 就 OK 了, 很显然这是一个酉算子
剩下的工作和上面的一样, 利用 来构造 Fock space 新的 Fock space 及其上产生湮灭算符和原有 Fock space 的联系为:
;
;
, 其中
我们将上述变换关系带入场算符的表达式, 就可以得到新的场算符为:
此时新的场算符与产生湮灭算符就变成了 上的 operator-value distribution
给定 , 产生湮灭算符的表达式为:
;
; 式中, 左边是用 distribution 严格表示下的产生湮灭算符, 而右边积分号内的即为物理上通常所说的产生湮灭算符其满足对易关系:
对于场算符, 带入场算符和产生湮灭算符的关系, 即可得到:
, 这就是物理上场算符的表达式这里需要注意的是, 我们虽然把它写成了算符值函数的样子, 但实际计算中心里要清楚, 它是 operator-value distribution, 而非 function
2, 旋量场:
下面, 方便起见, 我们采用物理上的记号
(1)单粒子态: 旋量场对应于 little group 在自旋空间 上的 2 维表示 的诱导表示给出的单粒子态, 其满足坐标空间的狄拉克方程为:
利用傅里叶变换, 我们可以得到其在动量表象下的表示, 相应的单粒子 Hilbert space 为
, 上的洛伦兹不变测度为 , 其满足动量空间的狄拉克方程为:
(2)场算符: 对费米子而言, 其产生湮灭算符满足的对易关系为:
;
, 这里 为粒子的自旋同上, 我们也可以利用产生湮灭算符来构造场算符注意这里单粒子的自旋空间 , 满足坐标空间狄拉克方程的 有四个分量这里场算符可以写为:
, 其中 为不同的产生湮灭算符, 而 为四分量函数, 两者乘积满足动量空间的 Dirac 方程
在场的正则量子化表述下, 我们先求得动量空间 Dirac 方程的解, 在做傅里叶变换得到坐标空间狄拉克方程的解在场算符的正则量子化下, 展开系数被解释为产生和湮灭算符
五, HHW 定理:
在讨论了具体的自由场的例子之后, 我们来看看 HHW 定理对于有限自由度的量子力学, 所有的表示都等价于薛定谔表示不过呢, 正如我们上次所看到的, 当系统自由度 时, 出现了与 Fock 表示不等价的表示, 这些不等价的表示直接导致了自由场和相互作用场的不等价下面我们给出关于标量场的 HHW 定理的结果
1, 第一部分:
考虑两个标量场 , 其等时对易关系为:
;
;
在伽利略变换 下, 场算符的变换为:
;
;
相应的两个场算符对应的 vacuum 为:
现在, 若两个场算符之间由酉算子群给出的联系为:
;
; 那么结合以上场算符的变换式可得:
则两个 vacuum 满足:
2, 第二部分:
考虑满足第一部分中假设的两个场 , 那么对于洛伦兹变换 , 则显然有:
; 则两个场的如下真空期望值相等:
由此, 物理上导致的结果是, 若 为自由场, 那么 也一定是自由场即, 如果一个标量场与自由标量场酉等价, 那么这个标量场也是自由标量场换句话说, 存在相互作用的量子场与自由量子场之间, 不能用酉算子联系关于 HHW 定理带来的影响, 我们在讨论散射问题, QED, 以及重整化的时候还会再次讨论它
六, 场的正则量子化:
最后, 以标量场为例, 我们来简单回顾一下历史的进程上, 我们是如何给出场算符和产生湮灭算符的
同时, 这里我们还会给出关于自由量子场的一些物理图像, 这些物理图像可能只是一些启发式的理解, 并没有实际的物理意义不过这并不代表这些物理图像是不必要的, 在入门阶段, 这些物理图像还是有一定帮助的
1,Klein-Gordon 方程:
在第二篇文章中, 我们用 的诱导表示给出了 时, 单粒子态满足的方程即 Klein-Gordon 方程不过, 历史上看, 这个方程是由薛定谔写出的方法也很简单, 我们考虑相对论性的能量动量关系为:
而正则量子化中力学量的算符表示为: ; , 将其带入上式关系式就可以得到 Klein-Gordon 方程:
2, 正则量子化:
现在, 类似于一般高等量子力学教材中电磁场的正则量子化, 我们把 Klein-Gordon 方程当做一个经典场方程, 来对其做正则量子化即将原有经典场方程的解 , 替换为场算符, 并附加正则对易关系
具体来说:
;
; 由此不难看出, 这就是量子力学中正则对易关系在无穷自由度时的推广, 此时分立有限的角标 , 被换成连续无穷的坐标 (不习惯的话也可以先用分立角标, 之后再取极限)
这里还有一种动机是这样的, 相对论中要求时间和空间平权, 但量子力学中时间与空间的位置并不对等, 一个是自伴算符, 一个只是参数为此, 我们将空间坐标 同时间 一样降级为参数, 而这些参数的主人即是场算符
3, 产生湮灭算符:
我们对 Klein-Gordon 方程做傅里叶变换, 即可得到动量空间中的 Klein-Gordon 方程:
而这个方程无非就是频率取值 连续的谐振子而已而对动量空间 Klein-Gordon 方程的解做一次傅里叶变换, 我们就可以得到坐标空间 Klein-Gordon 方程的解为:
; 相应的正则动量为:
当我们对 Klein-Gordon 场做正则量子化, 赋予场算符等时对易关系时上式中展开系数也变为算符, 且满足对易关系:
, 这正是 Fock space 上产生湮灭算符所满足的对易关系, 它们是关于哈密顿量 的一对 Ladder operator
4, 一个启发式的图像:
正如上面所看到的, Klein-Gordon 方程量子化之后得到的量子场可以看做是无穷多个用 来标记的: 量子谐振子于是, 这里的量子场可以看做是无穷多个谐振子的集合, 这些谐振子作用于真空 vacuum , 在某个时空点 产生或湮灭一个满足相对论关系 的粒子, 而存放这些粒子态的集合就是 Fock space
(所有图, 侵删)
正如你所看到的那样, 我们只要把之前讨论的内容整理在一起, 逻辑上就可以给出量子场论来, 当然, 历史的进程不大可能按这样的顺序进行(实际上也不是)
既然我们已经从逻辑上构造出量子场论了, 下一步要做的就是看看它在物理上能给出哪些新的结论了
来源: http://www.tuicool.com/articles/yEruyuU