以下内容参照微软研究院主题演讲《Quantum Computing for Computer Scientists(计算机科学家量子计算导读)》的结构进行整理和扩充的.
本篇是第五部分. 上一篇[科普] 量子计算通识 - 4
Hadamard Gate
在前面的文章中我们讲到, 无论是矢量化的经典比特 cbit 还是量子比特, 各种门操作都可以表示成与一个特殊矩阵相乘, 比如 NOT 非门就可以表示成:
同样可控非门 CNOT 也可以表示成:
Hadamard 哈达玛门也是类似, 它是针对单个比特进行操作, 公式是:
从含义上理解这个过程, 那就是我们把一个经典的确定的比特位 | 0 > 或 | 1 > 变为了不确定的量子位. 因为如果我们对它们进行测量 (求平方) 计算, 那么就可以看到:
注意这里比特的含义是一个硬币的非正即反, 那么测量结果 1 就表示正面, 而 0.5 表示什么? 50% 可能是正面, 50% 可能是反面. 这是什么意思? 这就是薛定谔的半死半活猫. 我们的数据进入了 Superposition 叠加态!
Hadamard 门可以把一个矢量化的经典比特 cbit 变为量子叠加态的 qbit.
但为什么是都乘以根号二分之一的矩阵, 不是其他矩阵呢? 因为这个与这个矩阵相乘是可逆的! 我们来看把一个 cbit 乘以这个矩阵两次, 也就是连续做两次 Hadamard 门操作会怎样?
Hadamad 门是自身的逆操作. 从这里我们也可以看出, 对用 Hadamard 门连续操作两次, 我们就实现了将一个 cbit 转到 qbit 再转回 cbit, 而且中间没有执行任何测量操作. 这代表着我们可以在量子叠加态下进行操作!
单位圆状态机
我们先看一下 NOT 非门对于 qbit 的操作:
NOT 门其实就是把量子位的上下颠倒, 就是颠倒是非的作用.
那么下面这个 NOT 门的单位圆状态机就好理解了:
NOT 非门操作单个量子位
单位圆上面的点和其对应的非门 NOT 结果点, 总是呈左上到右下的 135 度方向.
我们再看 Hadamard 门操作单位圆上单个量子位的结果关系图:
Hadamard 门操作单个量子位
单位圆上面的点和其对应的哈达玛门操作结果点, 总是呈左上到右下的 112.5 度(90+45/2).
我们可以利用这两个单位圆状态机来快速计算一些量子操作. 我们用 X 表示 NOT 门, 用 H 表示哈达玛门, 那么就有:
非门与哈达玛门联合操作
注意这里, 尽管非门和哈达玛门都是可逆的运算, 连续两次非门或者连续两次哈达玛门都没意义, 但是如果 2 次非门和两次哈达玛门交替操作, 结果却会大不相同, 如上图所示两非两哈交替操作之后 (1,0) 变成了(0,-1).
在这里, 单位圆状态机是针对实数的 (有理数和无理数), 如果要针对复数(实数和虚数) 来做的话, 那就需要用一个球来表示了.
小结
经典比特 cbit 是量子比特 qbit 的特殊情况, 其实就是个二元向量.
量子比特 qbit 可以处于亦正亦反的叠加状态 Superposition.
叠加态的量子比特可以通过测量 Measure 求平方得到坍塌结果.
可以用矩阵来操作量子比特, 因为量子比特本身就是矢量矩阵.
哈达玛 Hadamard 门可以把 0 或 1 的矢量位变为叠加态, 或者再变回来.
可以利用图形化的单位量子状态机来进行简单比特运算.
下一篇我们开始介绍多伊奇乔扎算法.
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