样本既然是随机变量, 就有一定的概率分布, 这个概率分布就叫作样本分布. 样本分布是样本所受随机性影响的最完整的描述.
要决定样本分布, 就要根据观察值的具体指标的性质 (这往往涉及有关的专业知识), 以及对抽样方式和对试验进行的方式的了解, 此外常常还必须加一些人为的假定
EX1:
一大批产品共有 \(N\) 个, 其中废品 M 个, $N $ 已知, 而 M 未知. 现在从中抽出 \(n\) 个加以检验, 用以估计 M 或废品率 \(p = \frac{M}{N}\)
(1) 有放回抽样, 即每次抽样后记下结果, 然后将其放回去, 再抽第二个, 直到抽完 $n $ 个为止. 求样本分布.
(2) 不放回抽样, 即一次抽一个, 依次抽取, 直到抽完 \(n\) 个为止. 求样本分布.
- \(P\left(X_{
- i
- }=1\right)=M / N, P\left(X_{
- i
- }=0\right)=(N-M)/N\)
- \(P\left(X_{
- 1
- }=x_{
- 1
- }, \cdots, X_{
- n
- }=x_{
- n
- }\right)=\left(\frac{
- M
- }{
- N
- }\right)^{
- a
- }\left(\frac{
- N-M
- }{
- N
- }\right)^{
- n-a
- }\)
\(x_1,\dots,x_n\) 都为 0 或者 1,\(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i=a\)
采用不放回抽样,
\(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i=a\),\(x_1,\dots,x_n\) 都为 0 或者 1
- \(P\left(X_{
- 1
- }=x_{
- 1
- }, X_{
- 2
- }=x_{
- 2
- }, \cdots, X_{
- n
- }=x_{
- n
- }\right)\)
- \(=\underbrace{
- \frac{
- M
- }{
- N
- } \cdot \frac{
- M-1
- }{
- N-1
- } \cdots \frac{
- M-a+1
- }{
- N-a+1
- }
- }_{
- x_i=1
- }\cdot \underbrace{
- \frac{
- N-M
- }{
- N-a
- } \cdots \frac{
- N-M-n+a+1
- }{
- N-n+1
- }
- }_{
- x_i=0
- }\)
- EX2:
为估计一物件的重量 a, 用一架天平将它重复称 n 次, 结果记为 \(X_{1}, \cdots, X_{n}\) , 求样本 \(X_{1}, \cdots, X_{n}\) 的联合分布.
(1) 假定各次称重是独立进行的, 即某次称重结果不受其它次称重结果的影响. 这样 \(X_{1}, \cdots, X_{n}\) 就可以认为是相互独立的随机变量.
(2) 假定各次称重是在 "相同条件" 下进行的, 可理解为每次用同一天平, 每次称重由同一人操作, 且周围环境 (如温度, 湿度等) 都相同. 在这个假定下, 可认为 \(X_{1}, \cdots, X_{n}\) 是同分布的. 在上述两个假定下, \(X_{1}, \cdots, X_{n}\) 是 n 个独立同分布的随机变量, 即为简单随机样本.
由概率论中的中心极限定理可知这种误差近似服从正态分布. 再假定天平没有系统误差, 则可进一步假定此误差为均值为 0 的正态分布. 可以把 X 1 (它可视为物重 a 加上称量误差之和) 的概率分布为 \(N\left(a, \sigma^{2}\right)\)
\(f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=(\sqrt{2 \pi} \sigma)^{-n} \exp \left\{-\frac{1}{2 \sigma^{2}} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-a\right)^{2}\right\}\)
- \(T=\sum\limits_{
- k=1
- }^{
- n
- } c_{
- k
- } X_{
- k
- } \sim N\left(a \sum_{
- k=1
- }^{
- n
- } c_{
- k
- }, \sigma^{
- 2
- } \sum_{
- k=1
- }^{
- n
- } c_{
- k
- }^{
- 2
- }\right)\)
- \(c_{
- 1
- }=\cdots=c_{
- n
- }=1 / n,T=\frac{
- 1
- }{
- n
- } \sum_{
- i=1
- }^{
- n
- } X_{
- i
- }=\bar{
- X
- }\)
- \(\bar{
- X
- } \sim N\left(a, \sigma^{
- 2
- } / n\right)\)
来源: http://www.bubuko.com/infodetail-3439156.html