本篇将举三个重要的理论或领域, 以展示之前信号理论的应用和意义. 其中滤波理论和通信系统是非常大的应用领域, 这里仅对基础的概念和方法做个介绍, 以作入门之用.
1. 滤波系统
1.1 滤波器
在系统函数的性质中, 我们看到信号在时域上的微分, 积分, 卷积等复杂运算, 在频域都变成了代数运算. 这说明分析和使用信号的频域, 有其天然的优势, 也会带来更广泛的应用. 当然, 频域的操作最终都体现在时域上, 注意讨论其相互关系和平衡, 有时也是必需的. 滤波系统主要就是以信号的频域为操作对象, 具体来说就是调整不同基波的波幅, 相位, 以使输出信号满足具体需求, 这样的系统也叫滤波器(Filter).
在讨论具体滤波器之前, 有必要先说清楚系统对信号的频域究竟产生了什么影响. 信号的频谱系数 \(X(j\omega)\)是一个复值函数, 模 \(|X(j\omega)|\)表示基波峰谷的高度, 它称为频谱的幅度; 角度 \(\sphericalangle X(j\omega)\)表示基波初始位置, 它称为频谱的相位. LIT 系统就是将信号的频谱乘上了系统函数 \(H(j\omega)\), 把影响按幅度和相位分开讲,\(|H(j\omega)|\)称为系统的增益 (gain),\(\sphericalangle H(j\omega)\) 叫系统的相移(phase shift).
将频谱的幅度, 相位分开展示的坐标图 (横坐标为 \(\omega\)) 叫模 - 相图, 根据对称性, 它们仅需显示正频率部分. 为了展示更多的基波频率, 以及在系统中经常出现 \(\log_{10}\omega\), 横坐标一般用对数值. 另外, 从图中表示相移对相位的影响是简单的, 只需在相位上增加相移即可. 为了让增益的影响也同样直观, 一般把幅度坐标用对数表示, 改乘法为加法. 其实在现实中, 人们对幅度的感知也是对数形式的, 比如音量和功率 \(\log_{10}|X|^2\)成正比. 一般把 \(\log_{10}|X|^2\)的单位叫做 Bel, 更常用的单位分贝 (dB) 是其十分之一, 也即模坐标的值是 \(20\log_{10}|X(j\omega)|\). 使用以上所有方法的图示称为 Bode 图.
滤波器一般通过修改幅度的方法, 选择性保留部分频率的基波, 而削弱其它频率的基波, 增益恒为 \(1\)的叫全通系统. 根据保留频率的不同, 有很多直观的术语, 这里就不一一阐述了, 比如低通 / 高通 / 带通滤波, 以及滤波的截止频率 / 通带 / 阻带. 另外, 系统的相移会造成基波的时移, 这在关心时移的场景里 (比如图片), 同样是不可忽略的影响. 所有不期望发生的增益和相移, 都被称为信号的失真. 根据信号时移的性质, 相同的时移 \(t_0\) 对应相移 \(\omega t_0\), 相移要和频率成正比信号才不失真,\(t_0\)称为系统的群时延. 在一般系统的局部, 也有近似的群时延 \(\tau(\omega)\)(式(1)).
\[\sphericalangle H(j\omega)=\omega\cdot\tau(\omega)+\phi(\omega),\;\;\tau(\omega)=\dfrac{\text{d}[\sphericalangle H(j\omega)]}{\text{d}\,\omega}\tag{1}\]
1.2 滤波函数
理想的滤波器的系统函数只有 \(0\)和 \(1\)两种值, 这里就举例不同场景的低通滤波, 高通 / 带通滤波可由其转变而来. 为方便叙述, 先定义方波函数 \(U_T(x)\), 它仅在 \(|x|\leqslant T\)时取 \(1\). 如果设低通滤波器 \(X(j\omega)\)为 \(U_W(\omega)\), 不难得到其单位冲激响应 \(x(t)\)(式 (2) 左). 你可以记忆 \(\text{sinc}\,\pi t\overset{F}{\leftrightarrow}U_{\pi}(\omega)\), 另外在 \(t=0\)处就取周边极限值. 利用对偶性, 就可以得到方波冲激响应的系统函数 (式(2) 右).
\[\dfrac{\sin Wt}{\pi t}\;\overset{F}{\leftrightarrow}\;U_W(\omega);\;\;U_T(t)\;\overset{F}{\leftrightarrow}\;\dfrac{2\sin T\omega}{\omega}\tag{2}\]
如果记 \(\text{sinc}(t)=\sin t/t\), 则式 (2) 左就是 \(W\text{sinc}(Wt)/\pi\). 对于比较大的 \(W\), 它就是 \(\text{sinc}(t)\)的横向压缩以及纵向拉升, 且能量都集中在原点附近. 当 \(W\to\infty\)时, 可知左式在 \(t=0\)处趋于无穷, 利用三角积分的值还能算得原点附近的积分趋于 \(1\). 这非常类似 \(\delta(t)\), 其实 \(W\to\infty\)时 \(U_W(\omega)\)是全通滤波, 故它的单位冲激响应就是 \(\delta(t)\)(即恒等变换). 同样道理, 式 (2) 右中 \(T\to\infty\)时的系统函数近似 \(2\pi\delta(\omega)\), 这与周期函数的 FT 相一致.
为讨论离散信号, 对于周期 \(T\), 先定义周期方波 \(U_{\theta}(x)\), 它仅在 \(|x-kT|\leqslant \theta T/2\)时为 \(1\). 对离散信号的 FT, 设低通滤波器 \(X(j\omega)\)为 \(U_{\theta}(\omega)\), 不难得到其单位脉冲响应 \(x(t)\)(式 (3) 左), 其中 \(a_0=\theta\). 滤波 \(U_{\theta}(\omega)/(2\theta\pi)\)每个周期的积分恒为 \(1\), 当 \(\theta\to 0\)时即为单位冲激串, 左边恒有极限 \(1/(2\pi)\), 与定值的 FT 一致. 然后利用对偶性, 也能得到周期方波的 FS(式 (3) 右), 以及单位冲激串的 FS 恒为 \(1/T\). 最后还有离散方波的 FT, 以及周期离散方波的 FS(式(4)), 这里暂不考虑 FS 上的滤波.
- \[\dfrac{
- \sin(n\theta\pi)
- }{
- n\pi
- }\;\overset{
- F
- }{
- \leftrightarrow
- }\;U_{
- \theta
- }(\omega);\;\;U_{
- \theta
- }(t)\;\overset{
- FS
- }{
- \leftrightarrow
- }\;\dfrac{
- \sin(k\theta\pi)
- }{
- k\pi
- }\tag{
- 3
- }\]
- \[U_{
- n_0
- }(n)\;\overset{
- F
- }{
- \leftrightarrow
- }\;\dfrac{
- \sin[\omega(n_0+1/2)]
- }{
- \sin(\omega/2)
- };\;\;U_{
- \theta
- }[n]\;\overset{
- FS
- }{
- \leftrightarrow
- }\;\dfrac{
- \sin(k\theta\pi)
- }{
- N\sin(k\pi/N)
- }\tag{
- 4
- }\]
一个滤波器不光要考虑频域的效果, 还要顾及时域带来的特性, 一般用单位阶跃响应考察滤波器的时域特征. 它逐步收敛于单位冲激响应的极限值, 收敛过程中, 有几个参数比较影响系统的好坏. 首先上升到稳态的时间, 表示系统响应的快慢(或当前信号对后续输出的影响大小), 一般越快越好. 然后还有进入稳态前的超量(超出稳定值), 以及进入稳态时的震荡, 它们都影响了系统的稳定速度, 可能降低系统实时性.
式 (2) 左的理想滤波不光有超量和震荡, 现实中还很难实现(不是有理系统), 另外还需要整个输入信号才行(非因果系统), 实际上很少使用. 非理想滤波在通带和阻带之间没有明显的界限, 而是有一定长度的过渡带, 并且通带 / 阻带上都可能有一些起伏, 以此可以换来时域更好的特性. 一般越小的过渡带, 越小的起伏, 会带来更大的超量和震荡, 以及更长的上升时间, 使用中需要注意平衡. 更多具体的滤波要到后续课程中讨论了.
2. 采样定理
2.1 采样与插值
离散时间信号更方便处理, 经常要把连续信号 \(x(t)\)采样成离散序列 \(x[nT]\), 为此需要从理论上分析这两种信号的关系. 首先自然地想把采样表示成 \(x(t)s(t)\), 其中 \(s(t)\)仅在 \(t=nT\)处有非零值 \(1\), 但由于 \(s(t)\)没有正常的分析性质 (微积分), 频域分析无法进行. 为此可以把 \(s(t)\) 换成单位冲激串函数 \(p(t)\)(式 (5) 左), 上一节已经知道它的 FS 频谱是 \(1/T\), 故它的 FT 频谱系数是式 (5) 右(\(\omega_s=2\pi/T\)).
\[p(t)=\sum_{k\in\Bbb{Z}}\delta(t-kT)\;\overset{F}{\leftrightarrow}\;P(j\omega)=\omega_s\sum_{k\in\Bbb{Z}}\delta(\omega-k\omega_s)\tag{5}\]
记采样信号为 \(x_p(t)=x(t)p(t)\), 根据乘法性质知其频谱系数为 \(X_p(j\omega)=\dfrac{1}{2\pi}X(j\omega)*P(j\omega)\). 式 (5) 带入便知,\(X_p(j\omega)\)是多个 \(X(j\omega)*\delta(\omega-k\omega_s)/T\)的累加, 而后者是 \(X(j\omega)/T\)平移 \(k\omega_s\)得到, 故 \(X_p(\omega)\)就是 \(X(j\omega)/T\)以 \(\omega_s\)为周期的叠加. 如果 \(x(t)\)的带宽满足 \(\omega_c<\omega_s\), 它们在 \(X_p(j\omega)\)中的叠加不会出现混叠, 可以用低通滤波完整截取出来. 也就是说从 \(x_p(t)\)中可以完全恢复出 \(x(t)\), 这个结论称为采样定理.
采样定理是个理想化的模型, 首先冲激串函数根本无法生成, 其次理想滤波器也很难实现, 但它从理论上说明了, 足够密度的采样是可以保存特定信号的所有信息的. 需要说明的是, 带限信号往往表现出一定平滑性, 但反过来平滑信号却不一定是, 甚至很少是带限的 (平滑不是来自低频正弦函数). 但这并不妨碍采样定理的实用性, 一般信号的高频部分都足够小, 高密度的采样可以获得信号的大部分信息, 足以近似恢复出原信号. 当 \(\omega_c>\omega_s\) 时, 信号恢复会出现不可预知的结果, 比如对信号 \(\cos\omega_0 t\)低速度采样时, 恢复信号的频率总会下降到 \(|\omega_s-k\omega_0|\)(自行证明), 这个可以解释视频中风扇倒转的现象.
现在就来讨论从采样函数 \(x_p(t)\)恢复出 \(x(t)\)的一般性方法, 这里 \(x_p(t)\)是个数学工具, 它代表了采样信息 \(x[nT]\). 记恢复系统的单位冲激响应为 \(h(t)\), 则恢复信号 \(x_r(t)\)为式 (6). 不难看出, 满足 \(h(0)=1,h(nT)=0,(n\ne 0)\) 的系统都能准确恢复出采样值 \(x[nT]\), 这时的 \(x_r(t)\)就好像 \(x[nT]\)的内插函数. 采样定理中的低通方波就满足插值条件, 其它恢复信号的插值法也要满足插值条件, 而且在频谱上都是低通方波的一种近似, 即便只是粗略的近似.
\[x_r(t)=x_p(t)*h(t)=\sum_{n\in\Bbb{Z}}x(nT)h(t-nT)\tag{6}\]
把式 (6) 看成 \(x(nT)\)影响的叠加, 选择适当的 \(h(t)\)便可以构造不同的恢复系统. 比如记 \(h_0(t)\)仅在 \([0,T)\)上有非零值 \(1\), 这时 \(x_r(t)\)在 \([nT,(n+1)T)\)上的值都是 \(x(nT)\), 这样的阶梯函数叫采样的零阶保持. 为了让恢复信号连续, 最简单的就是线性插值 (相邻两点直线相连, 也叫一阶保持), 不难得知 \(h(t)\) 是一个 \((-T,T)\)上面的三角形函数. 类似地可以有更平滑的高阶保持, 那里 \(h(t)\)要更平滑, 每个点的影响范围也更大.
2.2 数模转换
连续信号 (也叫模拟信号(analog)) 离散化的优点并不仅限于存储和传输, 数字 (digital) 信号的在处理上有更多有效便捷的方法. 所以经常会把模拟信号先做个模 - 数转换 (A/D), 通过数字信号处理(DSP) 后, 再进行数 - 模转换 (D/A) 输出模拟信号. 在这个过程中, 要想使用统一的 FT 理论就非常困难了, 而不得不直接寻找连续 FT 和离散 FT 之间的关系, 也即冲激采样 \(x_p(t)\)能否由脉冲采样 \(x_d[n]=x[nT]\)替代.
把 \(x_p(t)\)看成冲激串的叠加, 并根据 \(\delta(t-nT)\)的 (连续 FT) 频谱, 可得到 \(x_p(t)\)的频谱为式 (7) 左. 然后直接用离散 FT 的公式, 可得到 \(x_d[n]\)的频谱为式 (7) 右, 这里的 \(X_d(e^{j\omega})\)已经展开为周期函数. 这两个频谱系数虽然来自不同的变换, 但却有式 (8) 左的联系,\(X_d(e^{j\omega})\)是 \(X_p(j\omega)\)在横轴拉升 \(T\)倍, 使周期成为 \(2\pi\). 这个结论不仅说明了 \(x_p(t)\)和 \(x_d[n]\)在信息量上的等价性, 还是连续频谱和离散频谱之间的桥梁.
- \[X_p(j\omega)=\sum_{
- n\in\Bbb{
- Z
- }
- }x(nT)e^{
- -j\omega nT
- };\;\;X_d(j\omega)=\sum_{
- n\in\Bbb{
- Z
- }
- }x(nT)e^{
- -j\omega n
- }\tag{
- 7
- }\]
- \[X_p(j\omega/T)=X_d(e^{
- j\omega
- });\;\;H(j\omega)=H_d(e^{
- j\omega T
- }),\,(|\omega|<\omega_p/2)\tag{
- 8
- }\]
假设 \(x_d[n]\)经过系统 \(H_d(e^{j\omega})\)后变成 \(y_d[n]\), 再把它冲激采样化为 \(y_p(t)\), 不难求得最后的频谱是 \(Y_p(j\omega)=X_p(j\omega)H_d(e^{j\omega T})\), 这就好比 \(x_p(t)\)通过了连续系统 \(H_d(e^{j\omega T})\). 如果回到连续函数, 相当于 \(x(t)\)经过连续系统 \(H(j\omega)\)(式 (8) 右)后变成了 \(y(t)\), 这就说明了数字信号处理对连续系统的影响. 当然还要强调一下, 要想 \(H(j\omega)\)等价于原离散系统, 还要求 \(x(t)\)是带限的(否则只是近似系统). 更进一步讲, 带限连续信号脉冲采样并通过离散 LIT 系统后, 就相当于通过了一个连续 LIT 系统.
这个结论其实更适合反过来用, 由于连续信号有更好的分析性质, 那些在离散信号上 "无意义" 的概念 (比如微分), 可以先在连续信号上设计系统, 再通过式(8) 得到对应的离散系统. 比如连续信号的微分器是 \(H(j\omega)=j\omega\), 那么其采样信号的微分器 \(H_d(e^{j\omega})\)就是 \(j\omega/T\)在 \(|\omega|<\pi\)上的周期拓展. 再比如时移系统的微分器是 \(e^{-j\omega t_0}\), 其采样信号的微分器就是 \(e^{-j\omega t_0/T}\)在 \(|\omega|<\pi\)上的周期拓展. 它们的单位脉冲响应可以用逆变换计算, 也可以通过特殊信号的响应直接求得. 函数 \(\text{sinc}(\pi t)\)在整数点上的采样就是单位脉冲 (注意此时 \(T=1\)), 且带宽 \(2\pi=\omega_s\) 刚好没有混叠, 对它做变换 (比如微分, 时移) 再在整数点采样, 即可得到离散系统的单位脉冲响应.
2.3 抽取和内插
对于高频采样的信号, 实际使用时往往不需要这么高的精度, 或者数据量相对信息量是有冗余的, 这时就需要考虑离散信号的抽取 (减采样). 记脉冲串 \(p[n]\) 仅在 \(n=kN\)时有非零值 \(1\), 易知它的频谱系数为式 (9), 其中 \(\omega_s=2\pi/N\). 同样用周期卷积分析 \(x_p[n]=x[n]p[n]\) 的频谱, 它是 \(X(e^{j\omega})/N\)以 \(\omega_s\)为周期的叠加,\(2\pi\)内共有 \(N\)个. 当 \(x[n]\)的带宽满足 \(\omega_c<\omega_s\)时, 从 \(x_p[n]\)可以完全恢复出 \(x[n]\). 以及把抽取值重组为信号 \(x_b[n]=x_p[nN]\), 根据缩放性质可有关系式 \(X_b(e^{j\omega})=X_p(e^{j\omega/N})\), 两者在信息量上是等价的.
\[p[n]=\sum_{k\in\Bbb{Z}}\delta[n-kN]\;\overset{F}{\leftrightarrow}\;P(e^{j\omega})=\omega_s\sum_{k\in\Bbb{Z}}\delta(\omega-k\omega_s)\tag{9}\]
对比 \(x[n]\)和 \(x_b[n]\)的频谱, 后者相当于前者在每个 \(2\pi\)内拉伸 \(N\)倍 (同时幅值降低到 \(1/N\)). 以上过程的逆过程, 即先拉升补零再方波截取, 可以看成是把 \(x_b[n]\) 内插 (增采样) 成 \(x[n]\), 同时频谱收缩 \(N\)倍. 我们希望减采样的频谱能正好填满周期 \(2\pi\), 以充分利用频谱而降低采样数据量, 这个过程往往需要先增采样, 以使 \(2\pi/\omega_c\)尽量接近整数. 另外, 缩放的过程也许可以更直观地解释式 (5) 和(9),\(x_b[n]\)完整拥有 \(x[n]\)的频谱,\(x_p[n]\)本质上是个延展函数, 延展过程中其它周期的频谱都被压缩至 \(2\pi\)内. 式 (9) 则可以解释成, 无穷处的频谱被压缩至实轴内了.
3. 通信系统
3.1 基本概念
现代通讯是以电磁波为信息载体的, 在空气中波长越长 (频率越低), 无线电波的传播距离越远(速度同光速); 而高频部分带宽更宽, 可以容纳更多的信息. 在工业上, 长波(0~300kHz) 可传播国际广播, 中波 (300k~3MHz) 多用于 AM, 短波 (3m~300MHz) 多用于高保真传输(比如 FM 广播, 手机通讯, Wi-Fi 等). 各种不同的信号想要通过电磁波传输, 就必须把信息 "嵌入" 到一个高频信号中, 前者称为调制信号, 后者称为载波信号, 嵌入和解析信号的方法分别叫调制和解调.
载波信号多为正弦波, 根据载波被修改的内容, 调制方法和大致分为幅度调制 (AM) 和频率调制 (FM). 频率调制直接修改载波的频率 \(\omega_c\)(式(10)), 由于 FM 使用的高频, 局部的频率 \(\omega_c+kx(t)\) 近乎不变, 可由此解调出 \(x(t)\). 频率几乎不会衰减, 因此 FM 可以高保真传输信息, 缺点则是需要占用较大的带宽. 幸好高频的带宽足够宽, 甚至可以划分为多个频段, 以供多路 FM 信号传输, 这个方法就叫频分多路复用(FDM).
\[A\cos\theta(t),\;\;\dfrac{\text{d}\theta(t)}{\text{d}t}=\omega_c+kx(t)\tag{10}\]
幅度调制直接把调制波乘上载波, 周期载波的频谱是可数个冲激串, 根据乘法性质可知, 调制后的频谱是原频谱的平移叠加, 可使用带通滤波解调出来. 一类常用的 AM 载波是周期方波, 方波无需持续很久, 而只要频率够高, 即可传输近似的信号. 效果相当于是高频, 有短暂持续的采样, 也被叫做脉冲幅度调制(PAM). 另外可想而知, 一个采样周期内可以有多路信号并存, 这个方法就叫时分多路复用(TDM).
值得注意的是, PAM 所使用的方波载波, 其频谱是无限的, 在传输中必定会失真. 而失真的信号在 TDM 中会造成码间干扰, 导致所有信号都变形. 为此 PAM 的载波要选择特殊的周期脉冲, 它是带限的, 并在其它通道时间上还是过零的. 为讨论方便, 把 PAM 的时隙设为 \(1\), 脉冲 \(p(t)\)要在 \(k\ne 0\)上过零, 即频谱 \(P(j\omega)\)有界且 \(P(j\omega)e^{-jk\omega}\)的积分为零. 假定脉冲对称, 并利用三角函数的性质, 可以构造如式 (11) 的频谱函数, 其中最有代表性的是方波 \(U_{\pi}(\omega)\), 它的脉冲函数是 \(\text{sinc}\,\pi t\). 当然如果把脉冲数据都数字化(二进制), 也就没有码间干扰的问题了, 它被称为脉冲编码调制(PCM).
\[P(j\omega)=P(-j\omega);\;\;P(j\omega)+P(j(2\pi-\omega))=1,\;(0\leqslant\omega\leqslant\pi)\tag{11}\]
3.2 正弦幅度调制
幅度调制更常用的载波还是正弦函数, 它更易于产生, 也有更好的分析性质和频谱系数. AM 的主要目的是要把信号嵌入到某个传输频段, 比较自然地可以想到频域的平移性质, 即如式 (12) 用复载波 \(e^{j\omega_c t}\)将 \(X(j\omega)\)整体右移 \(\omega_c\). 在接收端, 只需用复载波 \(e^{-j\omega_c t}\)即可解调出 \(x(t)\), 复载波可以用两路信号 \(x(t)\cos\omega_c t\)和 \(x(t)\sin\omega_c t\)来表示. 如果只想使用单通道也是可以的, 式 (13) 表明载波 \(\cos\omega_c t\)将 \(X(j\omega)\)产生了两份叠加. 接收端如果还用 \(\cos\omega_c t\)解调, 便可以得到右图中的三份频谱, 使用低通滤波器即可保留单个 \(x(t)\)的频谱.
- \[x(t)e^{
- j\omega_c t
- }\;\overset{
- F
- }{
- \leftrightarrow
- }\;X(j(\omega-\omega_c))\tag{
- 12
- }\]
- \[x(t)\cos\omega_c t\;\overset{
- F
- }{
- \leftrightarrow
- }\;\dfrac{
- 1
- }{
- 2
- }[X(j(\omega-\omega_c))+X(j(\omega+\omega_c))]\tag{
- 13
- }\]
在实现中还有一个棘手的问题需要解决, 即调制载波和解调载波 (不论是单双通道) 需要是同相的, 这称为同步解调, 需要较高的成本. 而现实中两者往往有相位差 \(\phi(t)\), 并且随时间不稳定地变化. 如果使用的是复载波, 解调出来的信号其实是 \(x(t)e^{j\phi}\), 在 \(x(t)\)恒为正的情况下, 取其范数即可得到 \(x(t)\). 为了让调制波恒为正, 有时需要将波幅同步提升, 这将带来额外的功率消耗. 如果使用的是正弦载波, 解调的信号将是 \(x(t)\cos\phi t\), 好像无计可施了. 其实如果 \(x(t)\)恒为正, 且 \(\omega_c\)足够大,\(x(t)\cos\omega_c t\)的所有波峰就好像是对 \(x(t)\)的采样 (使用包络检测器), 从它们也可以恢复出 \(x(t)\) 的近似值.
正弦载波调制占用了 \(x(t)\)两倍量的带宽, 这对有限的带宽是一种浪费, 它称为双边带调制 (DSB).\(x(t)\) 的频谱按 \(\omega\)的正负分为两个边带, 调制后靠近原点的两个分支叫下边带 (否则叫上边带), 仅保留上 / 下边带的调制称为单边带调制(SSB).SSB 需要用理想带通滤波实现, 我们知道这个难以实现. 其实利用两个频谱分支的平移对称性, 以及三角函数的对称性, 可以设计出式(14) 的调制系统(90 度相移网络), 请自行证明它仅保留了上边带(以及设计保留下边带的系统).
\[x(t)\cos\omega_c t+x_h(t)\sin\omega_c t,\;\;x_h(t)\;\overset{F}{\leftrightarrow}\;jX(j\omega)\cdot\text{sign}\omega\tag{14}\]
离散信号的幅度调制非常类似, 可以用复载波 \(e^{j\omega_c n}\)将频谱移向高频, 然后用 \(e^{-j\omega_c n}\)解调. 如果用正弦函数调制, 也会产生正负两个频谱分支, 这时需要防止不同周期上频谱的混叠. 记信号带宽为 \(\omega_m\), 首先要让两个分支分开, 即要 \(\omega_c>\omega_m/2\); 然后周期间也不能混叠, 即要 \(\omega_c+\omega_m/2<\pi\). 综合便要求式 (15) 成立, 这就要求 \(\omega_m\)越小越好. 其实在之前的采样理论中我们知道, 只要对信号增采样, 即可压缩信号的频谱.
\[\omega_m<2\omega_c<2\pi-\omega_m\tag{15}\]
来源: https://www.cnblogs.com/edward-bian/p/12286327.html