极值问题
非条件极值
条件极值
重积分
重积分的变量代换
柱面坐标代换
\[ \left\{ \begin{aligned} x & = & r\cos(\theta) \y & = & r\sin(\theta) \z & = & z \end{aligned} \right. \]
球面坐标代换
\[ \left\{ \begin{aligned} x & = & r\sin(\varphi)\cos(\theta) \y & = & r\sin(\varphi)\sin(\theta) \z & = & r\cos(\varphi) \end{aligned} \right. \]
反常重积分
Poisson 积分:
\(\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)
利用 \(\iint_{R^2}e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy\)
曲面积分
第一类曲线积分和第二类曲线积分
第二类曲面积分和第二类曲面积分
Green 公式
\(\int_{\alpha D}Pdx+Qdy=\iint_{D} (\frac{\alpha Q}{\alpha x}-\frac{\alpha P}{\alpha y})dxdy\)
Gauss 公式
\(\iiint_{\Omega} (\frac{\alpha P}{\alpha x}+\frac{\alpha Q}{\alpha y}+\frac{\alpha R}{\alpha z})dxdydz\)
Stokes 公式
含参变量积分
含参变量常义积分
\(I(y)=\int_{a}^{b}f(x,y)dx \quad y\in[c,d]\)
积分次序交换顺序 \(\int_{c}^{d}dy\int_{a}^{b}f(x,y)dx=\int_{a}^{b}dx\int_{c}^{d}f(x,y)dy\)
习题:
- (1)\(I=\int_{
- 0
- }^{
- 1
- }\frac{
- x^{
- b
- }-x^a
- }{
- lnx
- }dx,b>a>0\)
- (\(\int_{
- a
- }^{
- b
- }x^{
- y
- }dy=\frac{
- x^{
- b
- }-x^a
- }{
- lnx
- }\))
- \(\int_{
- 0
- }^{
- 1
- }dx\int_{
- a
- }^{
- b
- }x^{
- y
- }dy=\int_{
- a
- }^{
- b
- }dy\int_{
- 0
- }^{
- 1
- }x^{
- y
- }dx\)(展开 \(x^{
- y
- }\)})=\(\int_{
- a
- }^{
- b
- }\frac{
- 1
- }{
- 1+y
- }dy=\frac{
- ln(1+b)
- }{
- ln(1+a)
- }\)
- (2)
含参变量反常积分
Fourier 级数
函数的 Fourier 级数的展开
我们探讨这样一个问题:
假设 \(f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{k}coskt+b_{k}sinkt\)
- \(a_{
- 0
- }=\)
- \(a_{
- n
- }=\frac{
- 1
- }{
- \pi
- } \int_{
- -\pi
- }^{
- \pi
- } f(x) \cos n x \mathrm{
- d
- } x, \quad n=0,1,2, \cdots\)
- \(b_{
- n
- }=\frac{
- 1
- }{
- \pi
- } \int_{
- -x
- }^{
- \pi
- } f(x) \sin n x \mathrm{
- d
- } x, \quad n=1,2, \cdots\)
我们称为 Euler--Fourier 公式
来源: http://www.bubuko.com/infodetail-3394797.html