已知椭圆 \(\mathit{\Gamma}: \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{2}=1\), 过点 \(P(1,1)\) 作倾斜角互补的两条不同直线 \(l_1,l_2\), 设 \(l_1\) 与椭圆 \(\mathit{\Gamma}\) 交于 \(A,B\) 两点,\(l_2\) 与椭圆 \(\mathit{\Gamma}\) 交于 \(C,D\) 两点.
\((1)\) 若 \(P(1,1)\) 为线段 \(AB\) 的中点, 求直线 \(AB\) 的方程;
\((2)\) 记 \(\lambda=\dfrac{|AB|}{|CD|}\), 求 \(\lambda\) 的取值范围.
解析:
\((1)\) 法一 若记 \(P(x_0,y_0)\), 则当 \(P\) 为弦 \(AB\) 的中点时, 由中点弦方程可得直线 \(AB\) 方程为 \[ \dfrac{x_0x}{4}+\dfrac{y_0y}{2}=\dfrac{x_0^2}{4}+\dfrac{y_0^2}{2}.\] 因此所求直线方程为 \(x+2y-3=0\).
法二 由题显然 \(AB\) 的斜率存在, 设点 \(Q(x,y)\) 是直线 \(AB\) 上任意一个异于 \(P\) 点的的点, 则由椭圆的垂径定理知 \(OP\) 直线的斜率与 \(PQ\) 直线的斜率乘积为 \(-\dfrac{b^2}{a^2}\), 其中 \(a,b\) 分别为椭圆的半长轴, 半短轴. 即有 \[ \dfrac{y-1}{x-1}\cdot \dfrac{1-0}{1-0}=-\dfrac{2}{4}.\] 又即 \(x+2y-3=0\).
\((2)\) 由题, 设 \(l_1\) 的倾斜角为 \(\theta\), 则 \(l_2\) 的倾斜角为 \(\pi-\theta\), 其中 \(\theta\) 的取值范围为
\(\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\cup\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\). 于是直线 \(AB\) 的参数方程为
\[ \begin{cases} & x=1+t\cos\theta,\ & y=1+t\sin\theta, \end{cases} (t\text{是参数}). \]
将以上参数方程代入椭圆方程并整理可得 \[ \left(\dfrac{\cos^2\theta}{4}+\dfrac{\sin^2\theta}{2}\right)\cdot t^2+\left(\dfrac{1}{2}\cos\theta+\sin\theta\right)\cdot t-\dfrac{1}{4}=0.\] 若记 \(A,B\) 两点对应的参数分别为 \(t_1,t_2\), 则 \[ \begin{split} |AB|&=|t_1-t_2|\ &=\dfrac{\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\cos\theta+\sin\theta\right)^2-4\cdot\left(-\dfrac{1}{4}\right)\cdot \left(\dfrac{\cos^2\theta}{4}+\dfrac{\sin^2\theta}{2}\right)}}{\dfrac{\cos^2\theta}{4}+\dfrac{\sin^2\theta}{2}}\ &=f(\theta). \end{split} \] 则
\[ \begin{split} \lambda&=\dfrac{|AB|}{|CD|}\ &=\dfrac{f(\theta)}{f\left(\pi-\theta\right)}\ &=\sqrt{\dfrac{\cos^2\theta+3\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta}{\cos^2\theta+3\sin^2\theta-2\sin\theta\cos\theta}}\ &=\sqrt{1+\dfrac{4\tan\theta}{3\tan^2\theta-2\tan\theta+1}}. \end{split} \] 由于 \(\theta\) 的取值范围为 $ \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\cup\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$ , 所以 \(\lambda\) 的取值范围为 \(\left[\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2},1\right)\cup\left(1,\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\right]\).
来源: http://www.bubuko.com/infodetail-3279974.html