1. 聚类算法都是无监督学习吗?
什么是聚类算法? 聚类是一种机器学习技术, 它涉及到数据点的分组. 给定一组数据点, 我们可以使用聚类算法将每个数据点划分为一个特定的组. 理论上, 同一组中的数据点应该具有相似的属性和 / 或特征, 而不同组中的数据点应该具有高度不同的属性和 / 或特征. 聚类是一种无监督学习的方法, 是许多领域中常用的统计数据分析技术.
常用的算法包括 K-MEANS, 高斯混合模型(Gaussian Mixed Model,GMM), 自组织映射神经网络(Self-Organizing Map,SOM)
2. k-means(k 均值)算法
2.1 算法过程
K - 均值是最普及的聚类算法, 算法接受一个未标记的数据集, 然后将数据聚类成不同的组.
K - 均值是一个迭代算法, 假设我们想要将数据聚类成 n 个组, 其方法为:
首先选择个随机的点, 称为聚类中心(cluster centroids);
对于数据集中的每一个数据, 按照距离个中心点的距离, 将其与距离最近的中心点关联起来, 与同一个中心点关联的所有点聚成一类.
计算每一个组的平均值, 将该组所关联的中心点移动到平均值的位置.
重复步骤, 直至中心点不再变化.
用 \(u^1,u^2,...,u^k\) 来表示聚类中心, 用(1),(2),...,()来存储与第个实例数据最近的聚类中心的索引, K - 均值算法的伪代码如下:
- Repeat {
- for i = 1 to m
- c(i) := index (form 1 to K) of cluster centroid closest to x(i)
- for k = 1 to K
- μk := average (mean) of points assigned to cluster k
- }
算法分为两个步骤, 第一个 for 循环是赋值步骤, 即: 对于每一个样例, 计算其应该属于的类. 第二个 for 循环是聚类中心的移动, 即: 对于每一个类, 重新计算该类的质心.
K - 均值算法也可以很便利地用于将数据分为许多不同组, 即使在没有非常明显区分的组群的情况下也可以. 下图所示的数据集包含身高和体重两项特征构成的, 利用 K - 均值算法将数据分为三类, 用于帮助确定将要生产的 T - 恤衫的三种尺寸.
2.2 损失函数
K - 均值最小化问题, 是要最小化所有的数据点与其所关联的聚类中心点之间的距离之和, 因此 K - 均值的代价函数 (又称畸变函数 Distortion function) 为:
\[J(c^{(1)},c^{(2)},...,c^{(m)},u_1,...,u_k)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}||X^{(1)}-u_{c^{(i)}}||^2\]
其中 \(u_{c^{(i)}}\) 代表与 \(x^{(i)}\) 最近的聚类中心点. 我们的的优化目标便是找出使得代价函数最小的 \(c^{(1)},c^{(2)},...,c^{(m)}\) 和 \(u_1,u_2,...,u_k\) .
2.3 k 值的选择
在运行 K - 均值算法的之前, 我们首先要随机初始化所有的聚类中心点, 下面介绍怎样做:
我们应该选择 < , 即聚类中心点的个数要小于所有训练集实例的数量.
随机选择个训练实例, 然后令个聚类中心分别与这个训练实例相等 K - 均值的一个问题在于, 它有可能会停留在一个局部最小值处, 而这取决于初始化的情况.
为了解决这个问题, 我们通常需要多次运行 K - 均值算法, 每一次都重新进行随机初始化, 最后再比较多次运行 K - 均值的结果, 选择代价函数最小的结果. 这种方法在较小的时候 (2--10) 还是可行的, 但是如果较大, 这么做也可能不会有明显地改善.
没有所谓最好的选择聚类数的方法, 通常是需要根据不同的问题, 人工进行选择的. 选择的时候思考我们运用 K - 均值算法聚类的动机是什么. 有一个可能会谈及的方法叫作 "肘部法则". 关 于 "肘部法则", 我们所需要做的是改变值, 也就是聚类类别数目的总数. 我们用一个聚类来运行 K 均值聚类方法. 这就意味着, 所有的数据都会分到一个聚类里, 然后计算成本函数或者计算畸变函数.代表聚类数字.
我们可能会得到一条类似于这样的曲线. 像一个人的肘部. 这就是 "肘部法则" 所做的, 让我们来看这样一个图, 看起来就好像有一个很清楚的肘在那儿. 你会发现这种模式, 它的畸变值会迅速下降, 从 1 到 2, 从 2 到 3 之后, 你会在 3 的时候达到一个肘点. 在此之后, 畸变值就下降的非常慢, 看起来就像使用 3 个聚类来进行聚类是正确的, 这是因为那个点是曲线的肘点, 畸变值下降得很快, = 3 之后就下降得很慢, 那么我们就选 = 3. 当你应用 "肘部法则" 的时候, 如果你得到了一个像上面这样的图, 那么这将是一种用来选择聚类个数的合理方法.
2.4 KNN 与 K-means 区别?
K 最近邻 (k-Nearest Neighbor,KNN) 分类算法, 是一个理论上比较成熟的方法, 也是最简单的机器学习算法之一.
KNN | K-Means |
---|---|
1.KNN 是分类算法 < br ztid="115" ow="0" oh="0">2. 属于监督学习 < br ztid="116" ow="0" oh="0">3. 训练数据集是带 label 的数据 | 1.K-Means 是聚类算法 < br ztid="118" ow="0" oh="0">2. 属于非监督学习 < br ztid="119" ow="0" oh="0">3. 训练数据集是无 label 的数据,是杂乱无章的,经过聚类后变得有序,先无序,后有序。 |
没有明显的前期训练过程,属于 memory based learning | 有明显的前期训练过程 |
K 的含义:一个样本 x,对它进行分类,就从训练数据集中,在 x 附近找离它最近的 K 个数据点,这 K 个数据点,类别 c 占的个数最多,就把 x 的 label 设为 c。 | K 的含义:K 是人工固定好的数字,假设数据集合可以分为 K 个蔟,那么就利用训练数据来训练出这 K 个分类。 |
相似点
都包含这样的过程, 给定一个点, 在数据集中找离它最近的点. 即二者都用到了 NN(Nears Neighbor)算法思想.
2.5 K-Means 优缺点及改进
k-means: 在大数据的条件下, 会耗费大量的时间和内存. 优化 k-means 的建议:
减少聚类的数目 K. 因为, 每个样本都要跟类中心计算距离.
减少样本的特征维度. 比如说, 通过 PCA 等进行降维.
考察其他的聚类算法, 通过选取 toy 数据, 去测试不同聚类算法的性能.
hadoop 集群, K-means 算法是很容易进行并行计算的.
算法可能找到局部最优的聚类, 而不是全局最优的聚类. 使用改进的二分 k-means 算法.
二分 k-means 算法: 首先将整个数据集看成一个簇, 然后进行一次 k-means(k=2)算法将该簇一分为二, 并计算每个簇的误差平方和, 选择平方和最大的簇迭代上述过程再次一分为二, 直至簇数达到用户指定的 k 为止, 此时可以达到的全局最优.
3. 高斯混合模型(GMM)
3.1 GMM 的思想
高斯混合模型 (Gaussian Mixed Model,GMM) 也是一种常见的聚类算法, 与 K 均值算法类似, 同样使用了 EM 算法进行迭代计算. 高斯混合模型假设每个簇的数据都是符合高斯分布 (又叫正态分布) 的, 当前数据呈现的分布就是各个簇的高斯分布叠加在一起的结果.
第一张图是一个数据分布的样例, 如果只用一个高斯分布来拟合图中的数据, 图 中所示的椭圆即为高斯分布的二倍标准差所对应的椭圆. 直观来说, 图中的数据 明显分为两簇, 因此只用一个高斯分布来拟和是不太合理的, 需要推广到用多个 高斯分布的叠加来对数据进行拟合. 第二张图是用两个高斯分布的叠加来拟合得到的结果. 这就引出了高斯混合模型, 即用多个高斯分布函数的线形组合来对数据分布进行拟合. 理论上, 高斯混合模型可以拟合出任意类型的分布.
高斯混合模型的核心思想是, 假设数据可以看作从多个高斯分布中生成出来 的. 在该假设下, 每个单独的分模型都是标准高斯模型, 其均值 \(u_i\) 和方差 \(\sum_i\) 是待估计的参数. 此外, 每个分模型都还有一个参数 \(\pi_i\), 可以理解为权重或生成数据的概 率. 高斯混合模型的公式为:
\[p(x)=\sum_{i=1}^{k}\pi_iN(x|u_i,\sum_i)\]
通常我们并不能直接得到高斯混合模型的参数, 而是观察到了一系列 数据点, 给出一个类别的数量 K 后, 希望求得最佳的 K 个高斯分模型. 因此, 高斯 混合模型的计算, 便成了最佳的均值μ, 方差Σ, 权重π的寻找, 这类问题通常通过 最大似然估计来求解. 遗憾的是, 此问题中直接使用最大似然估计, 得到的是一 个复杂的非凸函数, 目标函数是和的对数, 难以展开和对其求偏导.
在这种情况下, 可以用 EM 算法. EM 算法是在最大化目标函数时, 先固定一个变量使整体函数变为凸优化函数, 求导得到最值, 然后利用最优参数更新被固定的变量, 进入下一个循环. 具体到高 斯混合模型的求解, EM 算法的迭代过程如下.
首先, 初始随机选择各参数的值. 然后, 重复下述两步, 直到收敛.
E 步骤. 根据当前的参数, 计算每个点由某个分模型生成的概率.
M 步骤. 使用 E 步骤估计出的概率, 来改进每个分模型的均值, 方差和权重.
高斯混合模型是一个生成式模型. 可以这样理解数据的生成过程, 假设一个最简单的情况, 即只有两个一维标准高斯分布的分模型 N(0,1)和 N(5,1), 其权重分别为 0.7 和 0.3. 那么, 在生成第一个数据点时, 先按照权重的比例, 随机选择一个分布, 比如选择第一个高斯分布, 接着从 N(0,1)中生成一个点, 如−0.5, 便是第一个数据点. 在生成第二个数据点时, 随机选择到第二个高斯分布 N(5,1), 生成了第二个点 4.7. 如此循环执行, 便生成出了所有的数据点.
也就是说, 我们并不知道最佳的 K 个高斯分布的各自 3 个参数, 也不知道每个 数据点究竟是哪个高斯分布生成的. 所以每次循环时, 先固定当前的高斯分布不 变, 获得每个数据点由各个高斯分布生成的概率. 然后固定该生成概率不变, 根据数据点和生成概率, 获得一个组更佳的高斯分布. 循环往复, 直到参数的不再变化, 或者变化非常小时, 便得到了比较合理的一组高斯分布.
3.2 GMM 与 K-Means 相比
高斯混合模型与 K 均值算法的相同点是:
它们都是可用于聚类的算法;
都需要 指定 K 值;
都是使用 EM 算法来求解;
都往往只能收敛于局部最优.
而它相比于 K 均值算法的优点是, 可以给出一个样本属于某类的概率是多少; 不仅仅可以用于聚类, 还可以用于概率密度的估计; 并且可以用于生成新的样本点.
4. 聚类算法如何评估
由于数据以及需求的多样性, 没有一种算法能够适用于所有的数据类型, 数 据簇或应用场景, 似乎每种情况都可能需要一种不同的评估方法或度量标准. 例 如, K 均值聚类可以用误差平方和来评估, 但是基于密度的数据簇可能不是球形, 误差平方和则会失效. 在许多情况下, 判断聚类算法结果的好坏强烈依赖于主观 解释. 尽管如此, 聚类算法的评估还是必需的, 它是聚类分析中十分重要的部分之一.
聚类评估的任务是估计在数据集上进行聚类的可行性, 以及聚类方法产生结 果的质量. 这一过程又分为三个子任务.
估计聚类趋势.
这一步骤是检测数据分布中是否存在非随机的簇结构. 如果数据是基本随机 的, 那么聚类的结果也是毫无意义的. 我们可以观察聚类误差是否随聚类类别数 量的增加而单调变化, 如果数据是基本随机的, 即不存在非随机簇结构, 那么聚 类误差随聚类类别数量增加而变化的幅度应该较不显著, 并且也找不到一个合适 的 K 对应数据的真实簇数.
判定数据簇数.
确定聚类趋势之后, 我们需要找到与真实数据分布最为吻合的簇数, 据此判定聚类结果的质量. 数据簇数的判定方法有很多, 例如手肘法和 Gap Statistic 方 法. 需要说明的是, 用于评估的最佳数据簇数可能与程序输出的簇数是不同的. 例如, 有些聚类算法可以自动地确定数据的簇数, 但可能与我们通过其他方法确 定的最优数据簇数有所差别.
测定聚类质量.
在无监督的情况下, 我们可以通过考察簇的分离情况和簇的紧 凑情况来评估聚类的效果. 定义评估指标可以展现面试者实际解决和分析问题的 能力. 事实上测量指标可以有很多种, 以下列出了几种常用的度量指标, 更多的 指标可以阅读相关文献.
轮廓系数, 均方根标准偏差, R 方(R-Square), 改进的 HubertΓ统计.
5. 代码实现
高斯混合模型代码
K-Means 代码
作者:@mantchs https://github.com/NLP-LOVE/ML-NLP
GitHub: https://github.com/NLP-LOVE/ML-NLP
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