绝对值函数
- $y=\left|x\right|=
- \left\{
- \begin{
- matrix
- }
- x, x \ge 0 &\\
- -x, x <0 &
- \end{
- matrix
- }\right.$
性质:
$\left|x\right|=x \Leftrightarrow x \ge 0,\left|x\right|=-x \Leftrightarrow x \le 0$
图形:
取整函数
$y=[x]=$ 小于或等于 $x$ 的最大整数
用分段函数表示:$y=[x]=n,n \le x <n+1$($n$ 是整数)
性质:
$[x] \le x < [x] + 1,[x] = x \Leftrightarrow x$ 是整数,$[x+y] \ge [x]+[y],[x+n]=[x]+n$($n$ 是整数)
图形:(阶梯曲线)
符号函数
- $y=sgnx=
- \left\{
- \begin{
- matrix
- }
- 1,& x> 0 \\
- 0,& x = 0 \\
- -1,& x <0
- \end{
- matrix
- }\right.$
性质:
- $sgnx=1 \Leftrightarrow x> 0, sgnx=-1 \Leftrightarrow x <0$
- $sgn(x-a) = 1 \Leftrightarrow x> a, sgn(x-a) = -1 \Leftrightarrow x < a$
- $x=sgnx \cdot \left|x\right|,\left|x\right|=sgnx \cdot x$
图形:
狄利克雷函数
- $y=D(x)=
- \left\{
- \begin{
- matrix
- }
1,& x 是有理数 \\
0,& x 是无理数
\end{matrix}\right.$
性质:
狄利克雷函数有很多糟糕的性质
1) 狄利克雷函数没有图形 (没有任何曲线段)
2) 狄利克雷函数是以任何正有理数为周期的周期函数, 因此它没有最小的正周期
3) 狄利克雷函数处处无极限, 处处不连续, 处处不可导, 在任何区间上不可积
狄利克雷函数常用来举反例和构造具有某种特殊性质的函数
如函数:$y=xD(x)$ 仅在原点连续, 在其他点处间断,
函数 $y=x^{2}D(x)$ 仅在原点可导, 在其他点处间断 (从而不可导)
注意:
狄利克雷函数可以用极限定义为 $D(x)=\lim_{m \rightarrow \infty }[\lim_{n \rightarrow \infty }cos^{n}(\pi m!x)]$
来源: http://www.bubuko.com/infodetail-3107187.html