我周围的人几乎都认为二分查找很简单, 但事实真的如此吗? 二分查找真的很简单吗? 并不简单. 看看 Knuth 大佬 (发明 KMP 算法的那位) 怎么说的:
Although the basic idea of binary search is comparatively straightforward, the details can be surprisingly tricky...
这句话可以这样理解: 思路很简单, 细节是魔鬼.
本文就来探究几个最常用的二分查找场景: 寻找一个数, 寻找左侧边界, 寻找右侧边界.
而且, 我们就是要深入细节, 比如 while 循环中的不等号是否应该带等号, mid 是否应该加一等等. 分析这些细节的差异以及出现这些差异的原因, 保证你能灵活准确地写出正确的二分查找算法.
一, 二分查找的框架
- int binarySearch(int[] nums, int target) {
- int left = 0, right = ...;
- while(...) {
- int mid = (right + left) / 2;
- if (nums[mid] == target) {
- ...
- } else if (nums[mid] <target) {
- left = ...
- } else if (nums[mid]> target) {
- right = ...
- }
- }
- return ...;
- }
分析二分查找的一个技巧是: 不要出现 else, 而是把所有情况用 else if 写清楚, 这样可以清楚地展现所有细节. 本文都会使用 else if, 旨在讲清楚, 读者理解后可自行简化.
其中... 标记的部分, 就是可能出现细节问题的地方, 当你见到一个二分查找的代码时, 首先注意这几个地方. 后文用实例分析这些地方能有什么样的变化.
另外声明一下, 计算 mid 时需要技巧防止溢出, 建议写成: mid = left + (right - left) / 2, 本文暂时忽略这个问题.
二, 寻找一个数(基本的二分搜索)
这个场景是最简单的, 可能也是大家最熟悉的, 即搜索一个数, 如果存在, 返回其索引, 否则返回 -1.
- int binarySearch(int[] nums, int target) {
- int left = 0;
- int right = nums.length - 1; // 注意
- while(left <= right) { // 注意
- int mid = (right + left) / 2;
- if(nums[mid] == target)
- return mid;
- else if (nums[mid] <target)
- left = mid + 1; // 注意
- else if (nums[mid]> target)
- right = mid - 1; // 注意
- }
- return -1;
- }
1. 为什么 while 循环的条件中是 <=, 而不是 <?
答: 因为初始化 right 的赋值是 nums.length - 1, 即最后一个元素的索引, 而不是 nums.length.
这二者可能出现在不同功能的二分查找中, 区别是: 前者相当于两端都闭区间 [left, right], 后者相当于左闭右开区间 [left, right), 因为索引大小为 nums.length 是越界的.
我们这个算法中使用的是 [left, right] 两端都闭的区间. 这个区间就是每次进行搜索的区间, 我们不妨称为「搜索区间」(search space).
什么时候应该停止搜索呢? 当然, 找到了目标值的时候可以终止:
- if(nums[mid] == target)
- return mid;
但如果没找到, 就需要 while 循环终止, 然后返回 -1. 那 while 循环什么时候应该终止? 搜索区间为空的时候应该终止, 意味着你没得找了, 就等于没找到嘛.
while(left <= right)的终止条件是 left == right + 1, 写成区间的形式就是 [right + 1, right], 或者带个具体的数字进去 [3, 2], 可见这时候搜索区间为空, 因为没有数字既大于等于 3 又小于等于 2 的吧. 所以这时候 while 循环终止是正确的, 直接返回 -1 即可.
while(left < right)的终止条件是 left == right, 写成区间的形式就是 [right, right], 或者带个具体的数字进去 [2, 2], 这时候搜索区间非空, 还有一个数 2, 但此时 while 循环终止了. 也就是说这区间 [2, 2] 被漏掉了, 索引 2 没有被搜索, 如果这时候直接返回 -1 就可能出现错误.
当然, 如果你非要用 while(left < right) 也可以, 我们已经知道了出错的原因, 就打个补丁好了:
- //...
- while(left < right) {
- // ...
- }
- return nums[left] == target ? left : -1;
2. 为什么 left = mid + 1,right = mid - 1? 我看有的代码是 right = mid 或者 left = mid, 没有这些加加减减, 到底怎么回事, 怎么判断?
答: 这也是二分查找的一个难点, 不过只要你能理解前面的内容, 就能够很容易判断.
刚才明确了「搜索区间」这个概念, 而且本算法的搜索区间是两端都闭的, 即 [left, right]. 那么当我们发现索引 mid 不是要找的 target 时, 如何确定下一步的搜索区间呢?
当然是去搜索 [left, mid - 1] 或者 [mid + 1, right] 对不对? 因为 mid 已经搜索过, 应该从搜索区间中去除.
3. 此算法有什么缺陷?
答: 至此, 你应该已经掌握了该算法的所有细节, 以及这样处理的原因. 但是, 这个算法存在局限性.
比如说给你有序数组 nums = [1,2,2,2,3],target = 2, 此算法返回的索引是 2, 没错. 但是如果我想得到 target 的左侧边界, 即索引 1, 或者我想得到 target 的右侧边界, 即索引 3, 这样的话此算法是无法处理的.
这样的需求很常见. 你也许会说, 找到一个 target 索引, 然后向左或向右线性搜索不行吗? 可以, 但是不好, 因为这样难以保证二分查找对数级的时间复杂度了.
我们后续的算法就来讨论这两种二分查找的算法.
三, 寻找左侧边界的二分搜索
直接看代码, 其中的标记是需要注意的细节:
- int left_bound(int[] nums, int target) {
- if (nums.length == 0) return -1;
- int left = 0;
- int right = nums.length; // 注意
- while (left < right) { // 注意
- int mid = (left + right) / 2;
- if (nums[mid] == target) {
- right = mid;
- } else if (nums[mid] < target) {
- left = mid + 1;
- } else if (nums[mid]> target) {
- right = mid; // 注意
- }
- }
- return left;
- }
1. 为什么 while(left <right) 而不是 <= ?
答: 用相同的方法分析, 因为初始化 right = nums.length 而不是 nums.length - 1 . 因此每次循环的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开.
while(left < right) 终止的条件是 left == right, 此时搜索区间 [left, left) 恰巧为空, 所以可以正确终止.
2. 为什么没有返回 -1 的操作? 如果 nums 中不存在 target 这个值, 怎么办?
答: 因为要一步一步来, 先理解一下这个「左侧边界」有什么特殊含义:
对于这个数组, 算法会返回 1. 这个 1 的含义可以这样解读: nums 中小于 2 的元素有 1 个.
比如对于有序数组 nums = [2,3,5,7], target = 1, 算法会返回 0, 含义是: nums 中小于 1 的元素有 0 个. 如果 target = 8, 算法会返回 4, 含义是: nums 中小于 8 的元素有 4 个.
综上可以看出, 函数的返回值 (即 left 变量的值) 取值区间是闭区间 [0, nums.length], 所以我们简单添加两行代码就能在正确的时候 return -1:
- while (left < right) {
- //...
- }
- // target 比所有数都大
- if (left == nums.length) return -1;
- // 类似之前算法的处理方式
- return nums[left] == target ? left : -1;
3. 为什么 left = mid + 1,right = mid ? 和之前的算法不一样?
答: 这个很好解释, 因为我们的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开, 所以当 nums[mid] 被检测之后, 下一步的搜索区间应该去掉 mid 分割成两个区间, 即 [left, mid) 或 [mid + 1, right).
4. 为什么该算法能够搜索左侧边界?
答: 关键在于对于 nums[mid] == target 这种情况的处理:
- if (nums[mid] == target)
- right = mid;
可见, 找到 target 时不要立即返回, 而是缩小「搜索区间」的上界 right, 在区间 [left, mid) 中继续搜索, 即不断向左收缩, 达到锁定左侧边界的目的.
5. 为什么返回 left 而不是 right?
答: 返回 left 和 right 都是一样的, 因为 while 终止的条件是 left == right.
四, 寻找右侧边界的二分查找
寻找右侧边界和寻找左侧边界的代码差不多, 只有两处不同, 已标注:
- int right_bound(int[] nums, int target) {
- if (nums.length == 0) return -1;
- int left = 0, right = nums.length;
- while (left < right) {
- int mid = (left + right) / 2;
- if (nums[mid] == target) {
- left = mid + 1; // 注意
- } else if (nums[mid] < target) {
- left = mid + 1;
- } else if (nums[mid]> target) {
- right = mid;
- }
- }
- return left - 1; // 注意
1. 为什么这个算法能够找到右侧边界?
答: 类似地, 关键点还是这里:
- if (nums[mid] == target) {
- left = mid + 1;
当 nums[mid] == target 时, 不要立即返回, 而是增大「搜索区间」的下界 left, 使得区间不断向右收缩, 达到锁定右侧边界的目的.
2. 为什么最后返回 left - 1 而不像左侧边界的函数, 返回 left? 而且我觉得这里既然是搜索右侧边界, 应该返回 right 才对.
答: 首先, while 循环的终止条件是 left == right, 所以 left 和 right 是一样的, 你非要体现右侧的特点, 返回 right - 1 好了.
至于为什么要减一, 这是搜索右侧边界的一个特殊点, 关键在这个条件判断:
- if (nums[mid] == target) {
- left = mid + 1;
- // 这样想: mid = left - 1
因为我们对 left 的更新必须是 left = mid + 1, 就是说 while 循环结束时, nums[left] 一定不等于 target 了, 而 nums[left - 1]可能是 target.
至于为什么 left 的更新必须是 left = mid + 1, 同左侧边界搜索, 就不再赘述.
3. 为什么没有返回 -1 的操作? 如果 nums 中不存在 target 这个值, 怎么办?
答: 类似之前的左侧边界搜索, 因为 while 的终止条件是 left == right, 就是说 left 的取值范围是 [0, nums.length], 所以可以添加两行代码, 正确地返回 -1:
- while (left < right) {
- // ...
- }
- if (left == 0) return -1;
- return nums[left-1] == target ? (left-1) : -1;
五, 最后总结
先来梳理一下这些细节差异的因果逻辑:
第一个, 最基本的二分查找算法:
因为我们初始化 right = nums.length - 1
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right]
所以决定了 while (left <= right)
同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid-1
因为我们只需找到一个 target 的索引即可
所以当 nums[mid] == target 时可以立即返回
第二个, 寻找左侧边界的二分查找:
因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
所以决定了 while (left < right)
同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid
因为我们需找到 target 的最左侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧右侧边界以锁定左侧边界
第三个, 寻找右侧边界的二分查找:
因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
所以决定了 while (left < right)
同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid
因为我们需找到 target 的最右侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧左侧边界以锁定右侧边界
又因为收紧左侧边界时必须 left = mid + 1
所以最后无论返回 left 还是 right, 必须减一
如果以上内容你都能理解, 那么恭喜你, 二分查找算法的细节不过如此.
通过本文, 你学会了:
1. 分析二分查找代码时, 不要出现 else, 全部展开成 else if 方便理解.
2. 注意「搜索区间」和 while 的终止条件, 如果存在漏掉的元素, 记得在最后检查.
3. 如需要搜索左右边界, 只要在 nums[mid] == target 时做修改即可. 搜索右侧时需要减一.
就算遇到其他的二分查找变形, 运用这几点技巧, 也能保证你写出正确的代码. LeetCode Explore 中有二分查找的专项练习, 其中提供了三种不同的代码模板, 现在你再去看看, 很容易就知道这几个模板的实现原理了.
来源: http://www.bubuko.com/infodetail-3103490.html