随机变量, 顾名思义, 就是具有随机性的变量. 什么叫有随机性? 中公考研辅导老师将带领大家从随机试验开始看起.
所谓随机试验, 就是具有如下特征的试验:"可重复","结果不唯一","无法预知"(试验前无法预知哪种结果出现). 如掷硬币, 掷骰子. 对于某个随机试验, 我们把其结果收集起来构成一个集合, 这就构成了该试验的样本空间. 而样本空间的子集就是随机事件. 所以随机事件即某些试验结果构成的集合. 概率第一章的基本概念: 样本空间, 随机事件, 必然事件, 不可能事件, 基本事件, 均可以理解成特殊的集合(由随机试验的结果构成的集合): 全集, 子集, 全集, 空集, 单点集.
随机变量是定义在样本空间上的单值函数. 例如对于掷硬币这个随机试验, 其样本空间为{正, 反}, 我们可以在这个样本空间上定义一个随机变量: X(正)=1,X(反)=0.
关于随机变量的概念, 我们不妨多思考一下, 以增进和它的关系. 套用一句广告词: 你怎么对待随机变量, 随机变量就怎么对待你. 请思考如下几个问题:
1. 随机变量是个函数, 这个函数是不是高数中的函数?
不少同学没有思考过这个问题, 那就错过了深入理解随机变量的机会. 高数中的函数是什么样子的? 起码定义域是实数集或实数集的子集. 而随机变量的定义域是样本空间. 这说明二者是不同类型的函数. 什么? 函数还有不同类型? 有这种疑惑的同学很可能没有好好看教材, 在同济六版高数教材第 6 页, 有一小段话, 较为透彻地解答了该问题. 大家可以通过翻书或听我唠叨几句这两种方式解决这个问题. ready?go! 映射是两个集合 A,B 之间的对应关系, 考虑非空集合 A,B, 对于集合 A 中的任一元素, 若集合 B 中有唯一确定的元素与之对应, 我们就把这种对应关系称为从 A 到 B 的映射. 如果集合 A,B 均为实数集或其子集, 我们把这个映射称为函数. 如果定义域为一个一般的集合(非实数集或其子集), 那么我们把这种映射称为泛函(泛函字面意思为广义的函数). 理解了这些概念后, 我们再来看随机变量, 不难发现它原来是个泛函(怪不得不好理解呢). 泛函的知识考研不要求, 不必深究.
2. 随机变量能否表示随机事件?
这个问题也有不少同学感到困惑. 我们以上面定义的这个随机变量为例,{X=1}是个随机事件吗? 是. 可以有两个理解角度: 其一, 它可以写成{X=1}={e|X(e)=1}={正}, 这是一种反对应: 由函数因变量的取值反对应自变量的取值. 大家可以体会一下如何用随机变量表示随机事件; 其二, X 有两种可能的取值 0,1, 并且以一定的概率取每个值, 而可以考虑概率的事件自然是随机事件了. 所以以后见到一个随机变量, 我们不一定要弄清它是如何定义的(有时这是困难的), 只要我们能分析出这个变量有若干种可能的取值, 取每个值有相应的概率即可认可其为随机变量, 进行下一步分析即可.
类似地,{X<=1}也是随机事件. 而且这种方式表示的随机事件有重要应用. 正如深挖群众提供的贪腐线索有可能揪出大老虎, 深入理解基本概念可能会有意想不到的收获. 由 {X<=1} 为随机事件, 不难得到 {X<=a} 亦为随机事件 (其中 a 为给定的实数). 进一步,{X<=x} 是随机事件吗 (x 为变量, 且不具有随机性)? 给定 x,{X<=x} 为一个随机事件; 若给定不同的 x, 就得到不同的随机事件. 如果 x 的取值范围是全体实数, 我们就得到了一系列的随机事件. 而每个随机事件又可以与一个概率对应. 这样, 对于每个 x, 有唯一确定的实数与其对应, 这就确定了函数关系. 这个函数是与 X 有关的, 我们称其为 X 的分布函数. 是不是有点意外的收获?
走笔至此, 我忍不住要说两句 "形而上" 的东西. 为什么有同学感觉课上听懂了, 课下却不会做题? 一个重要的原因是上课是学生跟着老师的思路走, 缺少主动探索和 "试错". 我们碰到一道题就像路过一个十字路口, 有前后左右四个方向可选, 而最终我们会选择其中一个方向走下去. 那为什么要选这个方向? 很多时候, 我们要用主动的试错去减少可能性, 用试错去建立自己的经验系统, 进而依据经验系统做决策. 而这种试错最好在平时完成(在考场上试错就 "悲剧" 了).
3. 为什么要引入随机变量?
随机变量是把随机试验的结果与实数对应起来, 方便用数学工具处理. 没有随机变量的状态, 我们已经见识过了, 就在概率的第一章. 我们可以考虑随机事件, 但每次说起来和写起来都不方便: 事件中的元素可能是 "正" 和 "反", 也可能是 "1 点" 和 "6 点", 还可能是 "中" 和 "不中"; 相应地算概率可能是 P{"正"}, 可能是 P{"掷出偶数点"}, 还可能是 P{"独立重复地射击 10 次, 击中 k 次"}. 而有了随机变量后, 整个概率的世界就不同了: 可以用 P{X=1}表示掷硬币朝上的面为正面, 表示掷骰子掷出偶数点, 还可以表示射击命中, 只需要修改随机变量 X 的定义即可; 此外, 我们可以进一步定义 X 的分布函数, 那么高等数学就可以作为一个工具来为概率统计服务了, 比如求极限, 求导这些基本计算可以对分布函数进行.
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