SG 函数:
首先定义 mex(minimal excludant)运算, 这是施加于一个集合的运算, 表示最小的不属于这个集合的非负整数. 例如 mex{0,1,2,4}=3,mex{2,3,5}=0,mex{}=0.
对于任意状态 x , 定义 SG(x) = mex(S), 其中 S 是 x 后继状态的 SG 函数值的集合. 如 x 有三个后继状态分别为 SG(a),SG(b),SG(c), 那么 SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG(c)}. 这样 集合 S 的终态必然是空集, 所以 SG 函数的终态为 SG(x) = 0, 当且仅当 x 为必败点 P 时.
[实例] 取石子问题
有 1 堆 n 个的石子, 每次只能取 { 1, 3, 4 } 个石子, 先取完石子者胜利, 那么各个数的 SG 值为多少?
SG[0]=0,f[]={1,3,4},
x=1 时, 可以取走 1 - f{1}个石子, 剩余 {0} 个, 所以 SG[1] = mex{ SG[0] }= mex{0} = 1;
x=2 时, 可以取走 2 - f{1}个石子, 剩余 {1} 个, 所以 SG[2] = mex{ SG[1] }= mex{1} = 0;
x=3 时, 可以取走 3 - f{1,3}个石子, 剩余 {2,0} 个, 所以 SG[3] = mex{SG[2],SG[0]} = mex{0,0} =1;
x=4 时, 可以取走 4- f{1,3,4}个石子, 剩余 {3,1,0} 个, 所以 SG[4] = mex{SG[3],SG[1],SG[0]} = mex{1,1,0} = 2;
x=5 时, 可以取走 5 - f{1,3,4}个石子, 剩余 {4,2,1} 个, 所以 SG[5] = mex{SG[4],SG[2],SG[1]} =mex{2,0,1} = 3;
以此类推.....
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8....
SG[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1....
由上述实例我们就可以得到 SG 函数值求解步骤, 那么计算 1~n 的 SG 函数值步骤如下:
1, 使用 数组 f 将 可改变当前状态 的方式记录下来.
2, 然后我们使用 另一个数组 将当前状态 x 的后继状态标记.
3, 最后模拟 mex 运算, 也就是我们在标记值中 搜索 未被标记值 的最小值, 将其赋值给 SG(x).
4, 我们不断的重复 2 - 3 的步骤, 就完成了 计算 1~n 的函数值.
本题只要求出每堆石子的 sg 值, 然后异或即可, 如果非 0, 先手赢, 否则后手赢
- #include <iostream>
- #include <cstdio>
- #include <cstring>
- using namespace std;
- const int maxn=1e3+10;
- int f[maxn],sg[maxn],s[maxn];
- //f[]表示改变当前状态的方式
- //sg[]表示每个状态的 sg 值
- //s[]标记后继节点转态的集合
- int m,n,p;
- void getSG(int n){
- memset(sg,0,sizeof(sg));
- //sg[0]=0, 所以循环从 1 开始
- for(int i=1;i<=n;i++){
- memset(s,0,sizeof(s));
- for(int j=0;j<=n&&f[j]<=i;j++)
- s[sg[i-f[j]]]=1;// 当前节点可以转到的下一状态标记
- for(int j=0;j<=n;j++){ // 查询当前后继状态 SG 值中最小的非零值
- if(!s[j]){
- sg[i]=j;
- break;
- }
- }
- }
- }
- int main()
- {
- f[0]=1; f[1]=1;
- for(int i=2;;i++){
- f[i]=f[i-1]+f[i-2];
- if(f[i]>=1000)break;
- }
- getSG(1000));
- while(cin>>m>>n>>p){
- if(m+n+p==0)break;
- if(sg[m]^sg[n]^sg[p])
- puts("Fibo");
- else puts("Nacci");
- }
- return 0;
- }
来源: http://www.bubuko.com/infodetail-3012314.html