对于图中的抛物线, 如何求出蓝色部分面积?
几何级数 Geometric series
几何级数就是指以固定比例持续增加的一组数字, 类似
, 后一项总是前一项乘以, 所以这样的数列就叫做几何级数, 比如.
怎么就和?
利用补项相减法计算过程如下:
所以当 , 也就是 是绝对值小于 1 的正分数或负分数时候, 当 趋近无穷大的时候,趋近无穷小接近 0, 那时候 就趋近于 1, 就得到:
比如:
三角形的面积
我们都知道三角形的面积是底乘以高除以 2, 但换一种看法, 在下图中, 黄色三角形被中间的竖线 NRQP 分成左右两个小三角形, 大黄色三角形面积就可以表示为左侧三角形 MNQ 和右侧三角形 NQK 面积之和.
即:
也就是说, 黄色三角形面积等于中间竖线与三角形相交的 NQ 乘以横向总宽度 MT 的一半.
抛物线下的面积
好了, 我们回到一开始的问题, 蓝色面积怎么求?
如图, 先看左半部分, 我们连接 AC 得到三角形, 这是个直角边为 1 的 45 度直角三角形, 面积是.
再看绿色部分, 根据上面我们的经验, 它的面积等于. 这里 AB 是 1 可以忽略. ED 长度是多少?
注意到 和是相似三角形, 所以
即:
同时, F 点横向是 , 根据函数 得到 E 点的高度是 . 所以 ED 是, 面积是.
所以, 黄色三角形面积是, 绿色三角形面积是. 同理每个小红三角性的面积, 两个就是, 以此类推下去, 我们把左侧这些无穷细分的三角形加在一起就是:
我们把它乘以 2, 得到整个曲线下面的面积:
即是:
套用上面的公式 得到, 这是抛物线下整个面积, 那么右侧蓝色的部分就是.
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