这是关于微积分概念的复习和小结.
微积分学 Calculus
微积分学 Calculus, 拉丁语意为计数用的小石头, 历史上曾经用来指关于无穷小的计算.
但本质上讲, 几何学研究形状, 代数学研究计算, 微积分学则研究变化关系, 变量与因变量的变化关系.
粗糙说就是研究 变化的时候 变得快还是慢的学问.
微积分学又称为 "初等数学分析", 微积分学在商学, 科学和工程学领域有广泛的应用, 用来解决那些仅依靠代数学和几何学不能有效解决的问题.
主要包括微分学, 积分学.
微分学 Differential
微分学是关于函数局部变化率的学问, 主要就是利用极限思维求斜率(求导数). 是关于变化速率的理论.
积分学 Integral
积分学为定义和计算面积等数据提供了一套通用的思路方法, 也是数学分析的重要概念之一.
正态分布中分布比率正是曲线下面积的分割情况, 积分学可以给出可行的计算方法.(后续文章中会讨论相关算法)
微积分基本定理 Fundamental theorem of calculus
微积分基本定理指出, 微分和积分互为逆运算. 如果 的导数函数是 , 那么 的积分函数就是.
叫原函数,叫导函数. 即:
注意,表示的是 曲线下全部长方体的总面积, 和 a,x 都没关系.
积分是微分的逆运算, 是知道了导函数 而求原函数. 微分则是相反.
定积分与不定积分
定积分是个值, 是指某个区间内曲线下面的面积, 而不定积分是个函数, 即原函数. 这类似某点的切线斜率和整个曲线的切线函数之间的区别.
需要注意的是, 我们现实中见到的函数中, 并不是每个函数都有导函数; 另一方面, 能够求出不定积分函数的原函数更加罕见.
微积分学起源
17 世纪, 牛顿和莱布尼兹分别独立的各自发展起来的.
古代的穷举法是积分学的起源. 穷举法其实就是不断细分的方法,"一尺之捶, 日取其半, 万世不竭" 就是这个意思.
阿基米德用内接正多边形的周长来穷尽圆周长, 而求得圆周率的近似值; 中国的刘徽在公元三世纪也应用穷举法求圆的面积; 祖冲之也用类似的方法求出球体的体积.
莱布尼兹和牛顿正式提出了一套完整的规则来处理无穷小, 他们都是微积分的发明者. 牛顿率先将微积分算法应用到物理学中, 结合万有引力定理解决了很多天文和物理问题, 但我们现在使用的微积分符号大多是莱布尼兹发明的, 包括.
极限和无穷小
极限是微积分学最重要的概念. 导数是一种极限, 积分也是一种极限. 微积分本质上可以说是研究极限的理论.
在早期历史上并没有极限概念, 而是使用为无穷小概念. 直到 19 世纪中期, 现代分析学之父, 德国数学家魏尔斯特拉斯才正式提出极限概念.
路程 = 速度 时间
这个路程计算公式仅在匀速直线运动中可行. 但实际上很多物体对象的运动速度都是变化的. 这就需要用到积分概念.
从这个图可以看出, 对于时间横轴,描述了速度的波动变化, 如果我们需要求出在时间区间 [a,b] 中间行驶了多少路程, 那么我们就需要用到积分的方法, 在极限小的时间里, 我们认为速度是均匀的, 然后把阴影面积 S 看做是无数排列紧密的竖向长方体, 然后进行求和即可.
这个过程就是求定积分的过程.
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