KMP 算法应该是每一本《数据结构》书都会讲的, 算是知名度最高的算法之一了, 但很可惜, 很多人压根就没看懂过~~~
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之后也在很多地方也都经常看到讲解 KMP 算法的文章, 这两天花了点时间总结一下, 有点小体会, 我希望可以通过我自己的语言来把这个算法的一些细节梳理清楚, 给大家发表这篇文章
什么是 KMP 算法
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KMP 是三位大牛: D.E.Knuth,J.H.Morris 和 V.R.Pratt 同时发现的. 其中第一位就是《计算机程序设计艺术》的作者!!
KMP 算法要解决的问题就是在字符串 (也叫主串) 中的模式 (pattern) 定位问题. 说简单点就是我们平时常说的关键字搜索. 模式串就是关键字 (接下来称它为 P), 如果它在一个主串(接下来称为 T) 中出现, 就返回它的具体位置, 否则返回 - 1(常用手段).
首先, 对于这个问题有一个很单纯的想法: 从左到右一个个匹配, 如果这个过程中有某个字符不匹配, 就跳回去, 将模式串向右移动一位. 这有什么难的?
我们可以这样初始化:
之后我们只需要比较 i 指针指向的字符和 j 指针指向的字符是否一致. 如果一致就都向后移动, 如果不一致, 如下图:
A 和 E 不相等, 那就把 i 指针移回第 1 位(假设下标从 0 开始),j 移动到模式串的第 0 位, 然后又重新开始这个步骤:
基于这个想法我们可以得到以下的程序:
/** * 暴力破解法 *@paramts 主串 *@paramps 模式串 *@return 如果找到, 返回在主串中第一个字符出现的下标, 否则为 - 1 */intbf(char* t,inttlengthchar* p,intplength){inti =0;// 主串的位置 intj =0;// 模式串的位置 while(i < tlength && j < plength) {if(t[i] == p[j]) {// 当两个字符相同, 就比较下一个 i++; j++; }else{ i = i - j +1;// 一旦不匹配, i 后退 j =0;// j 归 0} }if(j == plength) {returni - j; }else{return-1; }}
上面的程序是没有问题的, 但不够好!
(借用数字老师的一句话: 我不能说你错, 只能说你不对~~~)
如果是人为来寻找的话, 肯定不会再把 i 移动回第 1 位, 因为主串匹配失败的位置前面除了第一个 A 之外再也没有 A 了, 我们为什么能知道主串前面只有一个 A? 因为我们已经知道前面三个字符都是匹配的!(这很重要). 移动过去肯定也是不匹配的! 有一个想法, i 可以不动, 我们只需要移动 j 即可, 如下图:
上面的这种情况还是比较理想的情况, 我们最多也就多比较了再次. 但假如是在主串 "SSSSSSSSSSSSSA" 中查找 "SSSSB", 比较到最后一个才知道不匹配, 然后 i 回溯, 这个的效率是显然是最低的.
大牛们是无法忍受 "暴力破解" 这种低效的手段的, 于是他们三个研究出了 KMP 算法. 其思想就如同我们上边所看到的一样:"利用已经部分匹配这个有效信息, 保持 i 指针不回溯, 通过修改 j 指针, 让模式串尽量地移动到有效的位置."
所以, 整个 KMP 的重点就在于当某一个字符与主串不匹配时, 我们应该知道 j 指针要移动到哪?
接下来我们自己来发现 j 的移动规律:
如图: C 和 D 不匹配了, 我们要把 j 移动到哪? 显然是第 1 位. 为什么? 因为前面有一个 A 相同啊:
如下图也是一样的情况:
可以把 j 指针移动到第 2 位, 因为前面有两个字母是一样的:
至此我们可以大概看出一点端倪, 当匹配失败时, j 要移动的下一个位置 k. 存在着这样的性质: 最前面的 k 个字符和 j 之前的最后 k 个字符是一样的.
如果用数学公式来表示是这样的
P[0 ~ k-1] == P[j-k ~ j-1]
这个相当重要, 如果觉得不好记的话, 可以通过下图来理解:
弄明白了这个就应该可能明白为什么可以直接将 j 移动到 k 位置了.
因为:
当 T[i] != P[j]时
有 T[i-j ~ i-1] == P[0 ~ j-1]
由 P[0 ~ k-1] == P[j-k ~ j-1]
必然: T[i-k ~ i-1] == P[0 ~ k-1]
公式很无聊, 能看明白就行了, 不需要记住.
这一段只是为了证明我们为什么可以直接将 j 移动到 k 而无须再比较前面的 k 个字符.
好, 接下来就是重点了, 怎么求这个 (这些)k 呢? 因为在 P 的每一个位置都可能发生不匹配, 也就是说我们要计算每一个位置 j 对应的 k, 所以用一个数组 next 来保存, next[j] = k, 表示当 T[i] != P[j] 时, j 指针的下一个位置.
很多教材或博文在这个地方都是讲得比较含糊或是根本就一笔带过, 甚至就是贴一段代码上来, 为什么是这样求? 怎么可以这样求? 根本就没有说清楚. 而这里恰恰是整个算法最关键的地方.
int* getNext(char *p,intlength) {int*next= (int*)malloc(sizeof(int)*length);next[0] =-1;intj =0;intk =-1;while(j
这个版本的求 next 数组的算法应该是流传最广泛的, 代码是很简洁. 可是真的很让人摸不到头脑, 它这样计算的依据到底是什么?
好, 先把这个放一边, 我们自己来推导思路, 现在要始终记住一点, next[j]的值 (也就是 k) 表示, 当 P[j] != T[i]时, j 指针的下一步移动位置.
先来看第一个: 当 j 为 0 时, 如果这时候不匹配, 怎么办?
像上图这种情况, j 已经在最左边了, 不可能再移动了, 这时候要应该是 i 指针后移. 所以在代码中才会有 next[0] = -1; 这个初始化.
如果是当 j 为 1 的时候呢?
显然, j 指针一定是后移到 0 位置的. 因为它前面也就只有这一个位置了~~~
下面这个是最重要的, 请看如下图:
请仔细对比这两个图.
我们发现一个规律:
当 P[k] == P[j]时,
有 next[j+1] == next[j] + 1
其实这个是可以证明的:
因为在 P[j]之前已经有 P[0 ~ k-1] == p[j-k ~ j-1].(next[j] == k)
这时候现有 P[k] == P[j], 我们是不是可以得到 P[0 ~ k-1] + P[k] == p[j-k ~ j-1] + P[j].
即: P[0 ~ k] == P[j-k ~ j], 即 next[j+1] == k + 1 == next[j] + 1.
这里的公式不是很好懂, 还是看图会容易理解些.
那如果 P[k] != P[j]呢? 比如下图所示:
像这种情况, 如果你从代码上看应该是这一句: k = next[k]; 为什么是这样子? 你看下面应该就明白了.
现在你应该知道为什么要 k = next[k]了吧! 像上边的例子, 我们已经不可能找到 [ A,B,A,B ] 这个最长的后缀串了, 但我们还是可能找到 [ A,B ],[ B ] 这样的前缀串的. 所以这个过程像不像在定位 [ A,B,A,C ] 这个串, 当 C 和主串不一样了 (也就是 k 位置不一样了), 那当然是把指针移动到 next[k] 啦.
有了 next 数组之后就一切好办了, 我们可以动手写 KMP 算法了:
intKMP(char*t,inttLength,char*p,intpLength+) {inti =0;// 主串的位置 intj =0;// 模式串的位置 int*next= getNext(ps);while(i < tLength && j < pLength) {if(j == -1|| t[i] == p[j]) {// 当 j 为 - 1 时, 要移动的是 i, 当然 j 也要归 0i++; j++; }else{// i 不需要回溯了 // i = i - j + 1;j =next[j];// j 回到指定位置} }if(j == pLength) {returni - j; }else{return-1; }}
和暴力破解相比, 就改动了 4 个地方. 其中最主要的一点就是, i 不需要回溯了.
最后, 来看一下上边的算法存在的缺陷. 来看第一个例子:
显然, 当我们上边的算法得到的 next 数组应该是[ -1,0,0,1 ]
所以下一步我们应该是把 j 移动到第 1 个元素咯:
不难发现, 这一步是完全没有意义的. 因为后面的 B 已经不匹配了, 那前面的 B 也一定是不匹配的, 同样的情况其实还发生在第 2 个元素 A 上.
显然, 发生问题的原因在于 P[j] == P[next[j]].
所以我们也只需要添加一个判断条件即可:
int* getNext(char *p,intlength) {int*next= (int*)malloc(sizoef(int) *length);next[0] =-1;intj =0;intk =-1;while(j
好了, 至此. KMP 算法也结束了.
很奇怪, 好像不是很难的东西怎么就把大家困住这么久呢?
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仔细想想还是因为学习太浮躁了, 很多东西总是草草应付, 很多细节都没弄清楚, 就以为自己懂了. 结果就只能是似懂非懂的. 要学东西真的需要静下心来.
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