前言
作为资深学渣, 每次遇到对数就极度恐慌. 恐慌不是因为要考试~~~. 而是因为不理解, 只能靠死记硬背运算规则. 不能进行有效的推理, 这让我极度不爽, 因为会忘记. 故惶恐.
所以总是耿耿于怀, 想要试图理解对数的本质. 最近看到了一篇文章, 再一次的加深了理解. 故整理了一些自己最新的感悟记录如下:
新的理解
接下来说一下我的最新理解, 那么对数到底要怎么理解呢?
我们要知道自然数与四则运算的演化过程, 之后自然便能导出到底啥是对数了.
推理过程如下:
1.有一天, 上帝创造了自然数. 自然数除了天然存在以外, 还有一个性质就是天然有序.
2.因为有序, 所以有了从一个数到达相邻数的计数操作, 也就是加一操作, 以及它的逆运算减一. 我们称之为计数操作与逆计数(我自己起的名~~~, 理解要领就好~~~)
3.通过计数操作, 我们定义累计计数操作, 或者叫做连续计数操作. 称之为加法, 以及它的逆运算减法.
在步骤2里边, 我们看到计数操作是二元的, 第一元是op(正计数 / 逆计数), 第二元是基数(比如从5数到6,5就是基数).(其实从加法的角度理解, 也是三元的, 只不过第三元是常数1.但是你不要忘了我还没创造出加法呢, 这个时候)
那么到了步骤3里, 我们这里的概念已经变成了三元的.op是加或减, 第二元是基数, 第三元是操作数. 操作数就是做几次连续计数. 如 5+6=11可以理解为
对数5进行6次连续计数 (加一) 操作, 得数为11.
那么逆运算, 也就是减法. 是怎么来的呢? 所谓逆运算就是通过得数反过来求得正向运算中的其他因子(不准确, 领会要领. 作者实在业余...). 来回答这样的两个问题:
a. 什么数做连续6次的计数操作可以得到11?
b.5做连续多少次的计数操作可以得到11?
关于问题b, 我们这样求: 对11连续做逆计数运行, 当到底5的时候, 我们发现一共进行了6次. 我们说:11进行某 f1(5)操作后得到6.
问题a, 我们这样求: 对11连续做6次逆计数运算, 发现第六次结束之后, 这个数是5.我们说:11进行某 f2(6)操作之后得到5.
这里f1和f2是两个不同的操作,f1是指减减减减减一直减到5为止.f2是指减一下再减一下, 一直减六下. 如果你是个程序员, 你们就会明明实现这个两个函数是完全不一样的逻辑...
(额... 我真是表达能力捉鸡.. 有点吃力...)
然后奇怪的事情发生了~~~, 我们突然发现, 在这个过程中5和6其实是可以互换的~~~这就是伟大的加法交换律啊, 我的天~~~
所以我们知道了, 奇迹发生了, 函数f1和函数f2是等价的. 然后, 我们给他俩起一个新的名字, 叫做减法.
就是说: 因为加法有两个操作数(另一个之前我管他叫基数), 所以它的运算反过程, 也有对应的两个操作f1和f2, 但是因为交换律的存在. 所以f1和f2是统一的, 也就是减法.
故, 把这个过程就定义为了加法的逆运算, 我们称之为减法.
这也就是交换律的意义.
4.于是我们上瘾了, 是的. 把2->3的推导过程再玩一次.
对同一个基数, 连续做n的加法运算. 我们称之为乘法.
就是5加5加5加5连续加了6次, 称5乘6.
乘法同样是一个op, 一个基数, 一个操作数. 而TMD的简直神了, 乘法居然也满足交换律~~~
就是6加6加6加6连续加5次, 竟然和前一次相等.
故, 基于3中的推理, 得到了除法. 请注意, 这里的除法也是function1()与function2()的等价物, 因为交换律.
另外, 你自然会问, 那么0呢?0为啥不能做除数呢, 凭什么? 然后遗憾的是, 我们这里不讨论0, 因为请回到本小节第一句话, 我们是在自然数系中讨论问题, 还没创造0呢, 亲.(其实是因为我还没想明白..)
5.那么继续, 再推导一次2->3的推理过程.
对同一个基数, 连续做n次的乘法操作. 我们称之为乘方运算
就是:5乘5乘5乘5, 连续乘6次. 得15625
然后遗憾的是, 乘方运算不再满足交互律, 也就是6乘6乘6, 连续乘5次得7776, 不再与前式相等. 于是也就没有了逆运算.
但是不要怕, 我们依然有function1和function2. 区别是他们两个不在等价了.
我们定义function1为开方运算, 指求前式中的5, 他回答的是这样一个问题:
什么数连续乘, 乘6次之后得15625
我们定义function2为对数运算, 用来求得前式中的6, 他回答的是这样一个问题:
自然数5连续乘乘乘, 乘多少次之后得15625
6.截止到前文, 我们已经理解好了啥是对数了.
如前所属, 这样的结果并不好看, 对吧.
于是为了好看. 数学家们在将四则运算扩展至有理数域的时候, 竟然通过引入新的定义, 将乘方和开方统一了~~~, 统称为幂运算.
这地方, 还有待详细理解. 以后再说吧...
7.然后还要一个值得一提的是.
在历史上对数并不是从我们先前的推导过程中出现的. 在实际生活中, 对数早于乘方出现了很长时间. 它的出现主要是为了解决乘法运算不好算,
并且数很大的问题. 而对数的意义在于通过如下两个公式, 神奇的将乘法运算转换回加法运算, 除法运算转化为减法运算.
关于这个问题的详细探讨, 就要交给下面这篇文章来讲解了.
8.还有还有
通过前边的推理, 我们是不是可以再抽象一个高度, 把对数 / 开方与除法理解为同等的概念来处理? 总感觉他们冥冥之中具有相同的性质. 都是一种拆分??
还有待深入的学习.
知乎一个人的回答, 只言片语~~
乘法群 (R^+,\times) 到加法群 (R,+) 的同构.
微分方程 \ frac{dy}{dx}=\frac1x 在 y\vert_{x=1}=0 的解.
来源: http://www.bubuko.com/infodetail-2945326.html