近来, 在开展课题时遇到了需要将梯形波进行傅里叶级数展开的问题, 查询了一些资料(惭愧, 一开始就没想着自己动手积分), 然后没有找到自己想要的结果(其实有相近的, 只不过不是任意周期的, 当时没有转变过来), 最后还是动手算出来了, 在这里做一个小小的记录, 算是回顾以前的知识吧, 捂脸.
由于像三角波, 矩形波, 梯形波这种波形不连续, 因此在仿真软件中很容易出现计算不收敛的情况. 所以, 在这种情况下, 利用一系列谐波叠加的形式来等价于原来的波形, 可以很好的优化模型.
预备知识
1. 公式
给定一个周期为 的函数 , 那么它可以表示为无穷级数:
其中傅里叶系数为:
2. 性质
收敛性
在闭区间上满足狄利克雷条件的函数表示成的傅里叶级数都收敛. 狄利克雷条件如下:
在定义区间上,需绝对可积;
在任一有限区间中,只能取有限个极值点;
在任何有限区间上,只能有有限个第一类间断点.
满足上述条件的 傅里叶级数都收敛, 且:
当 是的连续点时, 级数收敛于
当 是的间断点时, 级数收敛于
正交性
所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为 0, 这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性, 例如, 在三维欧式空间中, 互相垂直的向量之间是正交的. 三角函数族的正交性用公式表示出来就是:
奇偶性
奇函数 可以表示为正弦级数, 而偶函数 则可以表示成余弦级数:
几种常见波形的傅里叶级数展开式
1. 梯形波(奇函数)
梯形波
如上图所示, 该梯形波是一个周期为 T 的奇函数, 幅值为 , 上升沿时间为, 在区间 的函数表达式为:
由奇偶性可知, 该波形在区间 的傅里叶级数展开式为:
其中傅里叶系数为:
将 函数代入傅里叶系数表达式中, 可得:
由
可得:
综上所述, 可以得到该梯形波在区间 的傅里叶级数展开式为:
其中:
2. 脉冲波(偶函数)
脉冲波
如上图所示, 该脉冲波是一个周期为 T 的偶函数, 幅值为 , 脉冲宽度为, 在区间 的函数表达式为:
由奇偶性可知, 该波形在区间 的傅里叶级数展开式为:
其中傅里叶系数为:
将 函数代入傅里叶系数表达式中, 可得:
因此, 可以得到该梯形波在区间 的傅里叶级数展开式为:
其中:
3. 方波(奇函数)
方波
同理, 该方波在区间 的傅里叶级数展开式为:
其中:
4. 三角波(奇函数)
三角波
同理, 该三角波在区间 的傅里叶级数展开式为:
5. 锯齿波(非奇非偶函数)
锯齿波
该锯齿波如上图所示, 在区间 的函数表达式为:
由于该函数为非奇非偶函数, 因此, 该波形在区间 的傅里叶级数展开式为:
其中傅里叶系数为:
将 函数代入傅里叶系数表达式中, 可得:
因此, 可以得到该锯齿波在区间 的傅里叶级数展开式为:
结语
这里仅仅列出了极小部分的波形的傅里叶级数展开式, 对于其它波形, 类似代入计算即可, 给出公式之后, 更多的是考验数学积分计算了.
参考文献
[1] 维基百科编者. 傅里叶级数
[2] 百度百科编者. 傅里叶级数
[3] Fourier Series Examples
来源: https://juejin.im/post/5c0a2588518825666808d080