概述
在计算机内, 有符号数有 3 种表示法: 原码, 反码和补码.
在计算机中, 数据是以补码的形式存储的, 所以补码在 c 语言的教学中有比较重要的地位, 而讲解补码必须涉及到原码, 反码.
详细释义
所谓原码就是二进制定点表示法, 即最高位为符号位,"0" 表示正,"1" 表示负, 其余位表示数值的大小.
反码表示法规定: 正数的反码与其原码相同; 负数的反码是对其原码逐位取反, 但符号位除外.
补码表示法规定: 正数的补码与其原码相同; 负数的补码是在其反码的末位加 1.
原码, 反码和补码的表示方法
定点整数表示法
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定点小数小时法
反码
正数: 正数的反码与原码相同.
负数: 负数的反码, 符号位为 "1", 数值部分按位取反.
例如: 符号位 数值位
[+7]反 = 0 0000111 B
[-7]反 = 1 1111000 B
注意:
a. 数 0 的反码也有两种形式, 即
[+0]反 = 00000000B
[- 0]反 = 11111111B
b. 8 位二进制反码的表示范围:-127~+127
原码
在数值前直接加一符号位的表示法.
例如: 符号位 数值位
[+7]原 = 0 0000111 B
[-7]原 = 1 0000111 B
注意:
数 0 的原码有两种形式:
[+0]原 = 00000000B
[-0]原 = 10000000B
位二进制原码的表示范围:-127~+127
补码
1)模的概念: 把一个计量单位称之为模或模数.
例如, 时钟是以 12 进制进行计数循环的, 即以 12 为模. 在时钟上, 时针加上(正拨)12 的整数位或减去(反拨)12 的整数位, 时针的位置不变.
对于一个模数为 12 的循环系统来说, 加 2 和减 10 的效果是一样的; 因此, 在以 12 为模的系统中, 凡是减 10 的运算都可以用加 2 来代替, 这就把减法问题转化成加法问题了(注: 计算机的硬件结构中只有加法器, 所以大部分的运算都必须最终转换为加法).
10 和 2 对模 12 而言互为补数.
同理, 计算机的运算部件与寄存器都有一定字长的限制(假设字长为 8), 因此它的运算也是一种模运算. 当计数器计满 8 位也就是 256 个数后会产生溢出, 又从头开始计数. 产生溢出的量就是计数器的模, 显然, 8 位二进制数, 它的模数为 2^8=256. 在计算中, 两个互补的数称为 "补码".
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2)补码的表示:
正数: 正数的补码和原码相同.
负数: 负数的补码则是符号位为 "1". 并且, 这个 "1" 既是符号位, 也是数值位. 数值部分按位取反后再在末位 (最低位) 加 1. 也就是 "反码 + 1".
例如: 符号位 数值位
[+7]补 = 0 0000111 B
[-7]补 = 1 1111001 B
补码在微型机中是一种重要的编码形式, 请注意:
a. 采用补码后, 可以方便地将减法运算转化成加法运算, 运算过程得到简化.
正数的补码即是它所表示的数的真值, 而负数的补码的数值部份却不是它所表示的数的真值.
采用补码进行运算, 所得结果仍为补码.
b. 与原码, 反码不同, 数值 0 的补码只有一个, 即
[0]补 = 00000000B.
若字长为 8 位, 则补码所表示的范围为 - 128~+127; 进行补码运算时, 应注意所得结果不应超过补码所能表示数的范围.
原码, 反码和补码之间的转换
由于正数的原码, 补码, 反码表示方法均相同, 不需转换.
在此, 仅以负数情况分析.
(1) 已知原码, 求补码.
例: 已知某数 X 的原码为 10110100B, 试求 X 的补码和反码
解: 由 [X] 原 = 10110100B 知, X 为负数. 求其反码时, 符号位不变, 数值部分按位求反; 求其补码时, 再在其反码的末位加 1.
1 0 1 1 0 1 0 0 原码
1 1 0 0 1 0 1 1 反码, 符号位不变, 数值位取反
1 1 0 0 1 1 0 0 补码, 符号位不变, 数值位取反 + 1
故:[X]补 = 11001100B,[X]反 = 11001011B.
(2) 已知补码, 求原码.
分析: 按照求负数补码的逆过程, 数值部分应是最低位减 1, 然后取反. 但是对二进制数来说, 先减 1 后取反和先取反后加 1 得到的结果是一样的, 故仍可采用取反加 1 有方法.
例: 已知某数 X 的补码 11101110B, 试求其原码.
解: 由 [X] 补 = 11101110B 知, X 为负数.
1 1 1 0 1 1 1 0 补码
1 1 1 0 1 1 0 1 反码(符号位不变, 数值位取反加 1)
1 0 0 1 0 0 1 0 原码(符号位不变, 数值位取反)
关于补码的补充例子:
一个正的整数的补码就是这个整数变成二进制的值.
举例: 一个 int 型变量 i=10, 其二进制补码就是 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1010(0x0000000A)
2. 一个负整数的二进制补码, 就是该负数的绝对值所对应的补码全部取反后加 1.
举例: int i=-10 的补码如何求得:
先求 - 10 的绝对值 10 的补码是 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1010(0x0000000A);
再将求得的补码取反: 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0101
再将取反后得到的补码加 1: 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0101 + 1
即可得到 - 10 的二进制补码: 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0110(0xFFFFFFF6)
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3. +0 和 - 0 的二进制补码都是 0
首先 + 0 的二进制补码是 0;
-0 的二进制补码是 + 0 的二进制补码取反后加 1,+0 的二进制补码为 0, 取反后为 FFFFFFFF, 加 1 后还是 0
原码和反码在数值 0 都有二意, 唯有补码在数值 0 是唯一的码值!
这些是 C/C++ 能做的
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