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- (现在补充关于 Boltzman 方程和 Landau 能级中的手征反常分析 ---18-06-2017*)
我在回答如何解释下外尔半金属中的 chiral anomaly? 提问时, 主要提供的是场论中的方法获得 chiral anomaly, 但这个方法利用路径积分本身就有些难度, 对于凝聚态理论和实验方向研究的人来说, 有点儿高冷现在我们从 Boltzman 方程出发来理解 chiral anomaly, 也许对于做具体输运研究的研究人员来说, 要更加亲切些而本文的内容的核心已概括在 @树袋熊答案的第二点中
手征反常的 Boltzmann 理论
现在开始啃第二根骨头: Boltzman 方程中 chiral anomaly(第一根骨头即是场论中的 chiral anomaly)为了图省事儿, 假设各位读者是熟悉 Boltzmann 方程的 [38,39], 因此直接写下这个关于粒子分布函数 的能动方程,
其中 是碰撞积分项, 包含了各种散射过程这个方程假设系统可以用准电子云带着分布函数 来描述, 它的运动在相空间内遵循一条经典轨迹 , 而 为准动量而描述这条轨迹的运动方程为,
这个方程就是在理论力学中熟知的 Hamilton 正则方程在固体能带中的应用, 其中第二个加速度方程就是电子在电磁场中运动感受到的 Lorentz 力而第一个速度方程中, 右边第一项代表色散群速度同时第二项则提供了一个反常项由 Berry 曲率贡献,
其中 是粒子占据态波函数把 Berry 曲率 引入正则方程, 有许多的综述文章并详细讨论了各种背景和应用, 大家可以参考文献 [40-42] 等而关于这个做法我只想提及一点, 就是包含 Berry 曲率贡献的正则方程有一种天然的对称性 , 也就是 Berry 曲率 相当于磁场 B 由于 代表相空间中的一组正则共轭变量, 而原本缺少反常项贡献的方程总让人感觉少了一点美感, 而现在这个正则方程的形式却让我非常满意那么有一个问题来了, 为什么大部分时候我们在应用正则方程时没有考虑反常项也会有效呢? 这是因为, 当系统具有时间反演对称性 (T) 时 Berry 曲率 , 同时也具有空间反演对称性(P) 时, 也就是说 T 和 P 同时存在时要求 Berry 曲率 平常我们考虑的物理问题大多不自觉地保持了 T 和 P 对称性, 而这样的系统也确实不需要考虑反常项贡献另外一个原因则是反常项贡献实际贡献非常小, 当系统作半经典化近似处理时常被当做高阶微扰丢掉了
这儿对 Berry 曲率 的分析发现, T 和 P 对称性必须被破坏, 和对 Weyl 半金属的能带实现的对称性分析结果是一致为了更进一步理解 Berry 曲率, 我们就一般的 Weyl Hamiltonian 来明确地算出手征反常流方程来根据之前获得的非常强的结果, 考虑在能带非简并交叉点附近激发的 Weyl 费米子满足,
其中费米速度 , 为赝自旋算子, 而 代表不同 Weyl 费米子的手征荷, 注意准动量 p 是在不同手征性 Weyl 点 附近展开的, 因此 这个 Hamiltonian 具有色散关系
, 考虑色散为 一支的量子态, 得到不同手征性 Weyl 谷的 Berry 曲率为,
其中单位准动量方向 , 注意 在 Weyl 点 发散为了描述这个发散行为, 对 Berry 曲率作一个面积分, 并定义为缠绕数(winding number),
取一个单位球面, 就可以很容易完成积分缠绕数 是表征不同 Weyl 费米子的拓扑不变量, 上式表明 Weyl 费米子的手征荷 与缠绕数 是相同的换句话说, 也就是 Weyl 半金属是一种拓扑非平庸的量子态, 其拓扑性可用其手征荷 来表征另一方面 相当于磁场, 因此关于 Berry 曲率的面积分 相当于动量空间的磁单极子的磁通量, 这一类比是极有启发意义的, 在讨论费米弧表面态时会沿着这个线索深入下去, 暂且不表 (@树袋熊 回答中的第三点) 将相应物理量代入正则运动方程, 可解出,
其中 为相空间积分不变测度考虑到这个测度的存在, 重新定义电荷密度和电流密度分布函数为,
首先来计算一个全微分,
右边第一项是我们熟悉的 , 因此必须把第二项关于不变测度的微分给算出来代入 的表达式, 展开整理得到
利用 Maxwell 方程 , 第一项为零, 同时 无磁荷, 而第三项平行矢量叉乘也为零, 因此只剩下最后一项贡献, 并注意 由 Liouville 方程知, 同时完成动量积分, 得到连续性流方程,
其中
, 是分布函数在 Weyl 点 上的数, 考虑在零温下电子填充 Fermi-Dirac 分布可知 接下来考虑不同手征性 Weyl 谷贡献, 可以恢复场论中的流方程,
以及
这就是手征反常流方程, 和场论中的结果一样至此, 我们啃掉了第二根骨头, 又得到了手征反常流方程回味一下整个计算过程, 就会惊奇地发现手征反常源于不变测度全微分的贡献, 即
, 这一点与 Fujikawa 在场论中对测度 的处理有异曲同工之妙利用 Boltzmann 方程可以得到更加合理的手征磁效应(CME), 为此设 E=0, 得到总电流为,
其中, 引入态密度和 Fermi-Dirac 分布函数并完成积分[39,43], 得到在 T=0K 时,
从上式, 我们发现当 时, 系统处于平衡态同时手征磁电流消失
最后, 作为这一节的结束, 我把碰撞项放到手征反常流方程中, 来简单分析一下其中的两种散射过程, 即谷内散射和谷间散射在连续性流方程中放入碰撞项 得到,
其中碰撞项包含所有可能的散射过程, 考虑到 Weyl 半金属的费米面主要由两个手征不同且动量空间分离的费米口袋组成, 那么如图 2.3 所示碰撞项 中每个口袋内的电子散射, 这个谷内散射保持手征性不变, 用弛豫时间 来近似描述; 另外两个口袋之间的电子散射, 这个谷间散射导致手征电子数不守恒, 用弛豫时间 来描述一般情况下长程的谷内散射要远大于短程的谷间散射[27], 即, 因此只考虑谷内散射对输运的贡献
但是有一种情况却例外, 那就是当系统处于平行的电场 E 和磁场 B 的环境下对手征反常流方程作一个体积分并忽略表面项,
其中 V 是 Weyl 半金属的体积这个方程会给出一个手征电荷泵效应, 即左手性电子数 越来越多而同时右手性电子数 不断减少, 这个过程应该会被碰撞项 中的散射过程平衡掉, 否则手征电势差就会越来越大使系统变得越来越不稳定这时我们发现谷内散射 () 虽然主导但却对手征电势差变大一点压制作用都没有, 因为它是手征性保持的, 反之谷间散射却可以让积累越多的左手性电子再散射回右手性电子, 从而达到一个动态平衡, 即
这个动态平衡保持一定的手征电荷差
这个动态平衡的物理图像是非常有价值的, 我们将作两点来谈: 第一, 可以推导出负磁阻效应来, 当电场和磁场平行时 Weyl 半金属会出现负磁阻现象, 目前这个现象还是手征反常在输运实验测量中唯一的重要特征 (另一个特征就是 ARPES 中的 Fermi arc 表面态), 关于 Weyl 半金属输运特征是我的专业了, 有机会详细讨论; 第二, 就是说这个动态平衡可以用来作一个有趣的潜在应用就是手征电池(the chiral battery)[44] 假设取来一块 Weyl 半金属材料, 并给它加上平行的电场磁场, 这个时候由于手征反常导致导致手征电荷差不断积累并达到动态平衡手征电池所储蓄的能量将由电荷积累造成的手征电势差所决定从另一个角度看, 这时 Weyl 半金属材料也可以看做是手征电容器(chiral capacitor)[45,46](之前我看到一些朋友圈里的报道说 Weyl 半金属材料可以实现手机快速充电, 神乎其技的噱头这些报道的依据便是这儿引用的文章了, 但是我还是要很不知好歹地很扫兴地跟大家说: 想多了这个手征电容效率太低还是个胚胎, 目前还留在实验室慢慢孵化成长吧)
现在撤去电场磁场, 手征反常不再作用, 手征性保持, 因此手征电势差也保持 (实际上由于谷间散射存在, 还是存在一部分很小的本征的手征放电行为) 现在在电池两端接上个带电阻 R 的闭合线圈, 这时只需加上磁场就可以诱导出电流来了, 这是因为手征磁效应带来的这个手征电池的效率, 有人估量和常规电荷的效率相当[45], 但是它是通过磁场来释放能量, 热损耗低同时保持度也更稳定在最后总结应用的章节中, 我们发现这个手征电池的工作原理来作一个探测极微弱磁场的传感器[44], 对这个应用开发感兴趣的读者可直接参看相关文献, 而不必担心其他章节存在需要补充的知识
Landau 能级的手征反常
上面用了两种办法来获得手征反常, 这两种办法一个是场论中 Fujikawa 规范化, 另一个是凝聚态中 Boltzmann 输运方程然而它们都是在磁场很弱的情况下才成立的, 实际的情况是在强的磁场下 Weyl 半金属的能谱就会出现 Landau 量子化, 形成一个个分立的 Landau 能级这时, 上面的两种办法似乎都失效了, 这就提了一个比较麻烦的问题, 如何才能从 Landau 能级中找出手征反常效应来呢? 这是接下来要啃的第三根骨头
在基本理论中包含如此之多的复杂计算, 恐怕会让读者望而却步对此, 只能说事不过三, 这是最后一根啦! 若是能够把这些硬骨头啃下来, 在阅读其他章节时就会获得更深的洞察力, 反之若是跳过其实问题也不大, 因为我把各个章节处理得相对独立, 并不需要前后章节对比才能阅读(ps: 其实我就是想炫耀炫耀实力罢了)
处理这个问题也会立刻获得一些即时的回报, 这个回报就是得到在强磁场下反常 Hall 效应以及手征磁效应当然另外一方面则是我们习得一种新的语言来表达强磁场下的电磁输运和热输运等物理现象废话打住, 首先来想想手征反常可能会藏在 Landau 能级什么位置呢?
一般来说, 能带出现 Landau 量子化就会打开能隙, 磁场越大能隙也就越大, 对于 Weyl 半金属的能带来说呢, 唯一不同的是它还保留着一个手征的无能隙的第零个 Landau 能级 [47] 考虑费米面接近 Weyl 点同时磁场足够大, 那么系统只需要考虑第零个 Landau 能级的贡献, 因此也就猜测手征反常的信息可能就藏在第零个 Landau 能级中, 如图 2.4 所示现在考虑加一个和磁场 B 平行方向的电场 E, 这个电场可以在第零个 Landau 能级上的电子数目的变化, 这个变化应该是正比于电场 E 同时 Landau 能级的简并度又正比于磁场 B, 因此有理由相信这个电子数变化正比于 既然注意到手征反常可能存在于 Landau 能级的简并度中, 我们就用更加准确的方式把它表述出来吧
把之前用过的 Weyl 半金属的模型 Hamiltonian 拿过来 [Eq 2.24], 设 同时外磁场沿 Z 轴方向, 并用 Pauli 算子写成如下形式,
其中费米速度 , 正则动量, 是四维轴矢量, m 是 Dirac 质量项, Pauli 算子 代表手征自由度,代表导带 - 价带能带自由度引入梯子算子
和本征态, 得到,
其中回旋频率 我们考虑第一种情况, 得到 Landau 能级色散关系为,
其中 s 代表能带指标,代表手征性现在只关注第零个 Landau 能级, 并注意到不同手征性的第零个 Landau 能级的零能位置为, 如图 2.4a 所示考虑情况, 此时色散为, 加入电场 E 沿着磁场 B 方向产生一个电场力驱动右手量子态湮灭(或产生), 量子态湮灭的速率为[48]
其中 g 是单位能量上的 Landau 简并度, V 是系统体积同理, 对于左手情况 , 得到左手量子态产生速率为, 因此手征电荷流方程为
这个方程就是将手征反常流方程体积分之后的结果其实推导的过程利用了 (1+1) 维手征反常的类比, 也常被当做一个比较 poor man 的推导方案来引入手征反常的, 具体细节就不多说了, 有兴趣的读者可以看看文献 [6] 在此, 需要强调的是在强磁场下手征反常依然存在, 它的理解方式则是把第零个 Landau 能级类比成在 (1+1) 维 Weyl 费米子系统中的手征反常即可
现在要给出反常 Hall 效应来, 最简单的办法就是利用 Streda 公式[49], 可以给出第零个 Landau 能级贡献的 Hall 电导为,
其中 是额外的电子数密度, 而 是磁长度这个结果并没有计入其他高阶 Landau 能级的贡献, 因此也可以看做完全是手征反常导致的(n=0)
但是要想推出手征磁效应, 就没有上面那个简单的办法了, 而必须要从热力学势 (thermodynamic potential) 出发 [49] 我们考虑第二种情况, 得到 Landau 能级为
为了获得电流表达式, 先给出热力学势
其中 是化学势, 而 Kronecker Delta 函数 是为了保证第零个 Landau 能级的手征性的, 即
那么电流密度可表达为热力学势关于磁矢势的导数即,
其中利用 , 是因为正则替换关系 因此发现如下的电流密度的表达式,
要计算这样复杂的表达式, 咋看之下谁都会头疼但是请深吸一口气, 稍稍分析一下, 就会发现转机首先注意到这个表达式可能会出现无穷大积分 (和求和) 导致的紫外发散因此不妨先引入一个动量截断 和 Landau 能级截断 N, 这样也就保证上式不再发散了然后注意到表达式中被积函数其实是关于动量指标的一个奇函数 (n>0), 因此当 时积分为零实在是太幸运了, 只有第零个 Landau 能级对电流密度有贡献! 考虑当 时, 我们发现,
完成这个积分, 只有表面项剩下了,
其中在极限 下丢掉了质量项上式就是最后得到的手征磁效应但是我需要提醒读者的是, 选择的截断刚好尊重了被积函数的奇偶性使得高阶项刚好相互抵消, 另一方面这个大动量截断的极限也很微妙, 也就是正是由于高能的量子的存在, 才使得我们得到的手征磁效应对 Dirac 质量不敏感 [23] 然而, 需要指出的是其他人基于 Kubo 公式计算的结果和这个结果是有矛盾的 [23,50-53] 这个手征磁效应对 Dirac 质量是否敏感, 非常依赖于计算中规范化方案这个问题我以后有机会还会在 Driac 方程中关于 Weyl 半金属和 Nodel-line 半金属的质量分类 (质量竞争合作机制) 再谈现在只想偷懒地指出, 只要一开始就不考虑 Dirac 质量(即 m=0), 则上面得到的手征磁效应就不依赖于具体的计算方法了
Maxwell 方程中的手征方程以及 axion 电动力学
在此快结束之际, 我想纠正一下本文开始时提到的关于手征反常最难懂也最神秘的个人看法手征反常其实是非常常见的存在, 而获得它的办法也是多种多样的, 本文中我便尝试了三个方法来推导当然, 如果深入去调研就会发现获得手征反常的方法还有很多, 比如最古老的 Adler 等人用费曼图计算这个过程的三角圈图 (triangle diagram) 所使用的 Green 函数方法 [50,51], 还有如构造四维量子 Hall 系统其表面边缘态激发就是三维 Weyl 费米子, 它使用的方法是 Chern-Simons 形式的拓扑场论的语言[37,54] 等对于做理论物理的人来说, 熟悉全部的推导也许没有必要, 但是掌握一两种方法却是基本的对于做实验物理的人来说, 理解手征反常的物理图像也许更重要些, 特别是通过实验手段测量出手征反常来, 从实验数据中认识手征反常才是他们的基本素养然而从更长远的角度来看, 不管是理论家还是实验学家, 我们大家都应该好好想想手征反常在材料科学中的实现可能会带来哪些应用, 甚至是全新的科学的发展我之所以对手征反常如此青睐, 还有一个原因在于它给 Maxwell 方程的修正其实这一点也是很好理解的, 不妨把 Weyl 费米子, 电磁场以及手征反常三部分的作用量都统一写下来, 即,
从光学的角度出发, 主要处理后面的两项作用量 即可, 而 Weyl 费米子的作用量 则被积掉放到介电常数和磁导率中看做材料的电磁响应的背景从作用量出发对磁矢势 变分, 得到修正过的 Maxwell 方程(又叫 axion electrodynamics),
其中 ,, 为相对介电常数以及磁导率我们发现手征反常给后面两个 Maxwell 方程贡献了一个反常源项和一个反常流项, 而其中 为正常的电荷和电流需要注意的是这个反常电荷 , 在利用 Streda 公式推导反常 Hall 电导的时候用过, 另外反常电流项更是我们反复提及的反常 Hall 电流以及手征磁电流我会开辟一个专门的专栏来讨论这个修正过的 Maxwell 方程中的动态介电常数响应, 拓扑磁电效应(topological magnetoelectric effect) 以及在波导结构中的应用等现在把上面的方程无源的形式写下来, 并解个双折射现象作为本文的结束为此, 设 得到,
其中 为简单起见设, 对第一个方程取一次旋度, 并将第四个方程和第一个方程代入约化掉磁场分量, 整理得到一个关于电场 E 波动方程,
代入平面波形式解, 并化简得到色散关系,
其中 是 p 和 k 之间的夹角,代表左右手圆偏振光极化方向这个色散关系还是比较复杂的, 上式复杂的右边项是由手征反常导致的, 而左边则是光学上线性色散 为了看出双折射的效应来[30], 不妨作一个想象实验将一束沿着 z 方向传播的平面波同时 Weyl 半金属中 p 也设为 z 方向, 则夹角, 上式可化为
这儿对右边项作了一次零阶替换即 , 于是得到一个有效的色散关系一般情况下 是一个小量, 从上式可以明显地看出在 z 方向传播的广场会出现两个等相位面来, 这就是 Weyl 半金属中手征反常造成的双折射现象还有一个极端情况也是有趣的即, 这时其中一支模式变成虚频, 在场论中人们把它看作速子模式(tachyon, 一种超光速的粒子激发), 然而在实际材料中, 它的传播则是指数衰减的消逝波模式
附录: The Nielsen-Ninomiya NO-GO Theorem
我们在基本讨论 Weyl 半金属的手征反常时, 其实一直默认了一个事实: 那就是 Weyl 点总是成对出现在材料中的可聪明如你就会反问道, 不同手征性 Weyl 点能否单独存在呢? 这个问题的最终答案就导向这个著名的 NO-GO 定理 [20,55,56] 我不想直接给出定理的表述并证明, 那样就失去了探索问题的乐趣了(PS: 考虑到读者可能会希望直截了当些, 那我告诉你, 在晶体中 Weyl 点确实成对出现, 不可以单独存在, 好了可以闪人了 @树袋熊 回答中第三点)
还是从问题本身出发, 不妨假设 Weyl 点可以单独存在, 看看最后能否导出一个不自洽的结论来? 首先, 可以利用投影算子 获得一个单独的左手(或右手)Weyl 费米子的场论描述, 因此在场论意义下单独存在的 Weyl 点是容许的, 同时手征反常也可以表述为
这时发现当存在平行的电场磁场时, 系统中就会不断有粒子涌现或者湮灭但奇怪的是, 增加的粒子是从哪儿来的呢? 这不符合粒子数守恒定律一个补救的办法是在无穷远处放一个手征相反的 Weyl 点, 于是可以认为增加的粒子来源于这个 Weyl 点粒子的湮灭, 这样粒子数守恒就可以整体上得到保证, 考虑到这个 Weyl 点在无穷远处, 因此就可以局域地获得一个孤立的 Weyl 点了
现在把一个左手 Weyl 费米子放到一个晶格中, 就需要将 Hamiltonian 进行格点化为简单起见, 以一维晶格为例来讨论, 很天真的格点化手续即,
由于晶体周期性, 动量空间形成一个 Brillouin 区, 范围在 内同时边界上点 和等价借助上式, 就可以获得一个左手 Weyl 费米子的紧束缚模型(TBA)
现在反之, 再从这个 TBA 模型获得费米面附近的连续模型, 这个有效连续模型当然应该可以描述一个左手 Weyl 费米子的激发只需在 附近展开即可恢复原本的左手 Weyl 费米子场, 但是同时发现在 Brillouin 区边界上多出现一个右手性 Weyl 费米子激发 (色散为) 同理对于三维情况, 连续化之后得到 8 个费米子场的激发 (其中只有一个是原本的, 而另外 7 个则是多出来的) 这个现象在格点规范场理论中叫做 fermion doubling 问题(也叫 chiral doubling problem), 而多出来的费米子激发被称为 doubler 费米子, 如何从 lattice 模型中移走 doubler 费米子有很多方案比如 Wilson fermion, staggered fermions 等然而这个 doubler 费米子对我们考虑的问题, 却是一件幸运事儿, 也就是说如果放一个孤立的手征费米子进入晶体中, 它总会给我另一个手征相反的 doubler 费米子来构成一对, 也就是说晶体中 Weyl 点一定是成对存在的! 而 Nielsen-Ninomiya NO-GO 定理则保证这个 doubler 费米子一定存在, 无法被规范化
Nielsen-Ninomiya NO-GO 定理的一般性的证明需要一些拓扑的描述 [56], 其核心则是利用 Brillouin 区的周期性边界条件我们就一维情况来进行简单的证明, 而更高维的情况类似从一维能带色散来说, 能带必须过一次能量零点(费米面) 才能描述一个物理的 Weyl 费米子, 但是由于 Brillouin 区的周期性要求能带能够闭合, 因此能带必须再过一次能量零点从而给出另一个 doubler 费米子为了满足周期性条件, 能带必须过费米面偶数次, 通过零点处费米速度的判断, 很容易就会发现两个零点的手征性相反
参考文献
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来源: http://www.tuicool.com/articles/go/VF3yQfQ