图像 (MxN) 的二维离散傅立叶变换可以将图像由空间域变换到频域中去,空间域中用 x,y 来表示空间坐标,频域由 u,v 来表示频率,二维离散傅立叶变换的公式如下:
在 python 中,numpy 库的 fft 模块有实现好了的二维离散傅立叶变换函数,函数是 fft2,输入一张灰度图,输出经过二维离散傅立叶变换后的结果,但是具体实现并不是直接用上述公式,而是用快速傅立叶变换.结果需要通过使用 abs 求绝对值才可以进行可视化,但是视觉效果并不理想,因为傅立叶频谱范围很大,所以要用 log 对数变换来改善视觉效果.
另外,图像变换的原点需要移动到频域矩形的中心,所以要对 fft2 的结果使用 fftshift 函数.最后也可以使用 log 来改善可视化效果.
代码如下:
运行结果:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
img = plt.imread('photo.jpg')
#根据公式转成灰度图
img = 0.2126 * img[:,:,0] + 0.7152 * img[:,:,1] + 0.0722 * img[:,:,2]
#显示原图
plt.subplot(231),plt.imshow(img,'gray'),plt.title('original')
#进行傅立叶变换,并显示结果
fft2 = np.fft.fft2(img)
plt.subplot(232),plt.imshow(np.abs(fft2),'gray'),plt.title('fft2')
#将图像变换的原点移动到频域矩形的中心,并显示效果
shift2center = np.fft.fftshift(fft2)
plt.subplot(233),plt.imshow(np.abs(shift2center),'gray'),plt.title('shift2center')
#对傅立叶变换的结果进行对数变换,并显示效果
log_fft2 = np.log(np.abs(fft2))
plt.subplot(235),plt.imshow(log_fft2,'gray'),plt.title('log_fft2')
#对中心化后的结果进行对数变换,并显示结果
log_shift2center = np.log(np.abs(shift2center))
plt.subplot(236),plt.imshow(log_shift2center,'gray'),plt.title('log_shift2center')
根据公式实现的二维离散傅立叶变换如下:
直接根据公式实现实在是太慢,以至于我都不想等它跑出结果......
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
PI = 3.141591265
img = plt.imread('temp.jpg')
#根据公式转成灰度图
img = 0.2126 * img[:,:,0] + 0.7152 * img[:,:,1] + 0.0722 * img[:,:,2]
#显示原图
plt.subplot(131),plt.imshow(img,'gray'),plt.title('original')
#进行傅立叶变换,并显示结果
fft2 = np.fft.fft2(img)
log_fft2 = np.log(np.abs(fft2))
plt.subplot(132),plt.imshow(log_fft2,'gray'),plt.title('log_fft2')
h , w = img.shape
#生成一个同样大小的复数矩阵
F = np.zeros([h,w],'complex128')
for u in range(h):
for v in range(w):
res = 0
for x in range(h):
for y in range(w):
res += img[x,y] * np.exp(-1.j * 2 * PI * (u * x / h + v * y / w))
F[u,v] = res
log_F = np.log(np.abs(F))
plt.subplot(133),plt.imshow(log_F,'gray'),plt.title('log_F')
来源: http://www.bubuko.com/infodetail-2476433.html