在计算机内,有符号数有 3 种表示法:原码、反码和补码。
在计算机中,数据是以补码的形式存储的,所以补码在 c 语言的教学中有比较重要的地位,而讲解补码必须涉及到原码、反码。
详细释义
所谓原码就是二进制定点表示法,即最高位为符号位,"0" 表示正,"1" 表示负,其余位表示数值的大小。
反码表示法规定:正数的反码与其原码相同;负数的反码是对其原码逐位取反,但符号位除外。
补码表示法规定:正数的补码与其原码相同;负数的补码是在其反码的末位加 1。
原码、反码和补码的表示方法
定点整数表示法
定点小数小时法
反码
正数:正数的反码与原码相同。
负数:负数的反码,符号位为 "1",数值部分按位取反。
例如: 符号位 数值位
[+7] 反 = 0 0000111 B
[-7] 反 = 1 1111000 B
注意:
a. 数 0 的反码也有两种形式,即
[+0] 反 = 00000000B
[- 0] 反 = 11111111B
b. 8 位二进制反码的表示范围:-127~+127
原码
在数值前直接加一符号位的表示法。
例如: 符号位 数值位
[+7] 原 = 0 0000111 B
[-7] 原 = 1 0000111 B
注意:
数 0 的原码有两种形式:
[+0] 原 = 00000000B
[-0] 原 = 10000000B
位二进制原码的表示范围:-127~+127
补码
1)模的概念:把一个计量单位称之为模或模数。
例如,时钟是以 12 进制进行计数循环的,即以 12 为模。在时钟上,时针加上(正拨)12 的整数位或减去(反拨)12 的整数位,时针的位置不变。
对于一个模数为 12 的循环系统来说,加 2 和减 10 的效果是一样的;因此,在以 12 为模的系统中,凡是减 10 的运算都可以用加 2 来代替,这就把减法问题转化成加法问题了(注:计算机的硬件结构中只有加法器,所以大部分的运算都必须最终转换为加法)。
10 和 2 对模 12 而言互为补数。
同理,计算机的运算部件与寄存器都有一定字长的限制(假设字长为 8),因此它的运算也是一种模运算。当计数器计满 8 位也就是 256 个数后会产生溢出,又从头开始计数。产生溢出的量就是计数器的模,显然,8 位二进制数,它的模数为 2^8=256。在计算中,两个互补的数称为 "补码"。
2)补码的表示:
正数:正数的补码和原码相同。
负数:负数的补码则是符号位为 "1"。并且,这个 "1" 既是符号位,也是数值位。数值部分按位取反后再在末位(最低位)加 1。也就是 "反码 + 1"。
例如: 符号位 数值位
[+7] 补 = 0 0000111 B
[-7] 补 = 1 1111001 B
补码在微型机中是一种重要的编码形式,请注意:
a. 采用补码后,可以方便地将减法运算转化成加法运算,运算过程得到简化。
正数的补码即是它所表示的数的真值,而负数的补码的数值部份却不是它所表示的数的真值。
采用补码进行运算,所得结果仍为补码。
b. 与原码、反码不同,数值 0 的补码只有一个,即
[0] 补 = 00000000B。
若字长为 8 位,则补码所表示的范围为 - 128~+127;进行补码运算时,应注意所得结果不应超过补码所能表示数的范围。
原码、反码和补码之间的转换
由于正数的原码、补码、反码表示方法均相同,不需转换。
在此,仅以负数情况分析。
(1) 已知原码,求补码。
例:已知某数 X 的原码为 10110100B,试求 X 的补码和反码
解:由 [X] 原 = 10110100B 知,X 为负数。求其反码时,符号位不变,数值部分按位求反;求其补码时,再在其反码的末位加 1。
1 0 1 1 0 1 0 0 原码
1 1 0 0 1 0 1 1 反码,符号位不变,数值位取反
1 1 0 0 1 1 0 0 补码,符号位不变,数值位取反 + 1
故:[X] 补 = 11001100B,[X] 反 = 11001011B。
(2) 已知补码,求原码。
分析:按照求负数补码的逆过程,数值部分应是最低位减 1,然后取反。但是对二进制数来说,先减 1 后取反和先取反后加 1 得到的结果是一样的,故仍可采用取反加 1 有方法。
例:已知某数 X 的补码 11101110B,试求其原码。
解:由 [X] 补 = 11101110B 知,X 为负数。
1 1 1 0 1 1 1 0 补码
1 1 1 0 1 1 0 1 反码(符号位不变,数值位取反加 1)
1 0 0 1 0 0 1 0 原码(符号位不变,数值位取反)
关于补码的补充例子:
一个正的整数的补码就是这个整数变成二进制的值。
举例:一个 int 型变量 i=10, 其二进制补码就是 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1010(0x0000000A)
2. 一个负整数的二进制补码,就是该负数的绝对值所对应的补码全部取反后加 1.
举例:int i=-10 的补码如何求得:
先求 - 10 的绝对值 10 的补码是 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1010(0x0000000A);
再将求得的补码取反: 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0101
再将取反后得到的补码加 1: 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0101 + 1
即可得到 - 10 的二进制补码: 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0110(0xFFFFFFF6)
3. +0 和 - 0 的二进制补码都是 0
首先 + 0 的二进制补码是 0;
-0 的二进制补码是 + 0 的二进制补码取反后加 1,+0 的二进制补码为 0,取反后为 FFFFFFFF,加 1 后还是 0
原码和反码在数值 0 都有二意,唯有补码在数值 0 是唯一的码值!
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