16. 证明:\(\lim\limits_{x\rightarrow0}f(x)\) 与 \(\lim\limits_{x\rightarrow0}f(x^3)\) 有一个存在时, 另一个也存在, 而且两者相等; 问是否 \(\lim\limits_{x\rightarrow0}f(x)\) 与 \(\lim\limits_{x\rightarrow0}f(x^2)\) 一定同时存在.
证明
若 \(\lim\limits_{x\rightarrow0}f(x)=A\), 则 \(\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0\), 当 \(|x|<\delta,|f(x)-A|<\varepsilon\).
而当 \(|x|<\sqrt[3]{\delta},|f(x^3)-A|<\varepsilon\), 即 \(\lim\limits_{x\rightarrow0}f(x^3)=A\);
若 \(\lim\limits_{x\rightarrow0}f(x^3)=A\), 则 \(\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0\), 当 \(|x|<\delta,|f(x^3)-A|<\varepsilon\).
而当 \(|x|<\delta^3,|f(x)-A|<\varepsilon\), 即 \(\lim\limits_{x\rightarrow0}f(x)=A\).
不一定, 令 \(f(x)=\lfloor x\rfloor\).
17. 指出下列函数的间断点, 并说明属于哪一种类型间断点:
(1)\(f(x)=\text{sgn}(\sin x+\frac{1}{2})\);
\(2k\pi-\frac{\pi}{6},2k\pi+\frac{7\pi}{6},k\in\mathbb{Z}\). 跳跃间断点.
(2)\(f(x)= \begin{cases} \frac{x}{(1+x)^2},&x\not=-1,\\ 0,&x=-1; \end{cases}\)
\(-1\). 第二类间断点.
(3)\(f(x)= \begin{cases} x,&|x|\leqslant1,\\ \ln|x+1|,&|x|>1; \end{cases}\)
\(-1\), 第二类间断点.\(1\), 跳跃间断点.
(4)\(f(x)= \begin{cases} \cos^2\frac{1}{x},&x\not=0,\\ 1,&x=0. \end{cases}\)
\(0\). 第二类间断点.
18. 给出下列函数在 \(x=0\) 的函数值, 使其在该点连续:
(1)\(f(x)=\frac{\sqrt[3]{1+x}-1}{\sqrt{1+x}-1}\);
解 \(\frac{2}{3},\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt[3]{1+x}-1}{\sqrt{1+x}-1}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{1+x}+1}=\frac{2}{3}\)
(2)\(f(x)=\sin x\sin\frac{1}{x}\).
解 \(0,\lim\limits_{x\rightarrow0}|\sin x\sin\frac{1}{x}|\leqslant\lim\limits_{x\rightarrow0}|\sin x|=0,\lim\limits_{x\rightarrow0}\sin x\sin\frac{1}{x}=0\).
19. 适当选取 \(\alpha\), 使函数 \(f(x)= \begin{cases} \text{e}^x,&x<0,\\ \alpha+x,&x\geqslant0 \end{cases}\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 上连续.
解 \(\alpha=1\).
20. 设函数 \(f(x)\) 在 \(x=x_0\) 处连续, 函数 \(g(x)\) 在 \(x=x_0\) 处不连续, 问 \(f(x)+g(x)\) 和 \(f(x)g(x)\) 是否在 \(x=x_0\) 处一定不连续.
解 一定; 不一定, 如 \(f(x)\equiv0\).
来源: http://www.bubuko.com/infodetail-2441533.html