先上一张堆排序动画演示图片:
图片来自维基百科
1. 不得不说说二叉树
要了解堆首先得了解一下二叉树,在计算机科学中,二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”(left subtree)和“右子树”(right subtree)。二叉树常被用于实现二叉查找树和 二叉堆。
二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于 2 的结点),二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒。二叉树的第 i 层至多有 2i - 1 个结点;深度为 k 的二叉树至多有 2k - 1 个结点;对任何一棵二叉树 T,如果其终端结点数为 n0,度为 2 的结点数为 n2,则n0 = n2 + 1。
树和二叉树的三个主要差别:
二叉树又分为完全二叉树(complete binary tree)和满二叉树(full binary tree)
满二叉树:一棵深度为 k,且有 2k - 1 个节点称之为满二叉树
深度为 3 的满二叉树 full binary tree
完全二叉树:深度为 k,有 n 个节点的二叉树,当且仅当其每一个节点都与深度为 k 的满二叉树中序号为 1 至 n 的节点对应时,称之为完全二叉树
深度为 3 的完全二叉树 complete binary tree
2. 什么是堆?
堆(二叉堆)可以视为一棵完全的二叉树,完全二叉树的一个“优秀”的性质是,除了最底层之外,每一层都是满的,这使得堆可以利用数组来表示(普通的一般的二叉树通常用链表作为基本容器表示),每一个结点对应数组中的一个元素。
如下图,是一个堆和数组的相互关系
堆和数组的相互关系
对于给定的某个结点的下标 i,可以很容易的计算出这个结点的父结点、孩子结点的下标:
二叉堆一般分为两种:最大堆和最小堆。
最大堆:
最大堆
最小堆:
最小堆
3. 堆排序原理
堆排序就是把最大堆堆顶的最大数取出,将剩余的堆继续调整为最大堆,再次将堆顶的最大数取出,这个过程持续到剩余数只有一个时结束。在堆中定义以下几种操作:
继续进行下面的讨论前,需要注意的一个问题是:数组都是 Zero-Based,这就意味着我们的堆数据结构模型要发生改变
Zero-Based
相应的,几个计算公式也要作出相应调整:
最大堆调整(MAX‐HEAPIFY)的作用是保持最大堆的性质,是创建最大堆的核心子程序,作用过程如图所示:
Max-Heapify
由于一次调整后,堆仍然违反堆性质,所以需要递归的测试,使得整个堆都满足堆性质,用 JavaScript 可以表示如下:
- /**
- * 从 index 开始检查并保持最大堆性质
- *
- * @array
- *
- * @index 检查的起始下标
- *
- * @heapSize 堆大小
- *
- **/
- function maxHeapify(array, index, heapSize) {
- var iMax = index,
- iLeft = 2 * index + 1,
- iRight = 2 * (index + 1);
- if (iLeft < heapSize && array[index] < array[iLeft]) {
- iMax = iLeft;
- }
- if (iRight < heapSize && array[iMax] < array[iRight]) {
- iMax = iRight;
- }
- if (iMax != index) {
- swap(array, iMax, index);
- maxHeapify(array, iMax, heapSize); // 递归调整
- }
- }
- function swap(array, i, j) {
- var temp = array[i];
- array[i] = array[j];
- array[j] = temp;
- }
通常来说,递归主要用在分治法中,而这里并不需要分治。而且递归调用需要压栈/清栈,和迭代相比,性能上有略微的劣势。当然,按照20/80法则,这是可以忽略的。但是如果你觉得用递归会让自己心里过不去的话,也可以用迭代,比如下面这样:
- /**
- * 从 index 开始检查并保持最大堆性质
- *
- * @array
- *
- * @index 检查的起始下标
- *
- * @heapSize 堆大小
- *
- **/
- function maxHeapify(array, index, heapSize) {
- var iMax, iLeft, iRight;
- while (true) {
- iMax = index;
- iLeft = 2 * index + 1;
- iRight = 2 * (index + 1);
- if (iLeft < heapSize && array[index] < array[iLeft]) {
- iMax = iLeft;
- }
- if (iRight < heapSize && array[iMax] < array[iRight]) {
- iMax = iRight;
- }
- if (iMax != index) {
- swap(array, iMax, index);
- index = iMax;
- } else {
- break;
- }
- }
- }
- function swap(array, i, j) {
- var temp = array[i];
- array[i] = array[j];
- array[j] = temp;
- }
创建最大堆(Build-Max-Heap)的作用是将一个数组改造成一个最大堆,接受数组和堆大小两个参数,Build-Max-Heap 将自下而上的调用 Max-Heapify 来改造数组,建立最大堆。因为 Max-Heapify 能够保证下标 i 的结点之后结点都满足最大堆的性质,所以自下而上的调用 Max-Heapify 能够在改造过程中保持这一性质。如果最大堆的数量元素是 n,那么 Build-Max-Heap 从 Parent(n) 开始,往上依次调用 Max-Heapify。流程如下:
Build-Max-Heap
用 JavaScript 描述如下:
- function buildMaxHeap(array, heapSize) {
- var i,
- iParent = Math.floor((heapSize - 1) / 2);
- for (i = iParent; i >= 0; i--) {
- maxHeapify(array, i, heapSize);
- }
- }
堆排序(Heap-Sort)是堆排序的接口算法,Heap-Sort先调用Build-Max-Heap将数组改造为最大堆,然后将堆顶和堆底元素交换,之后将底部上升,最后重新调用Max-Heapify保持最大堆性质。由于堆顶元素必然是堆中最大的元素,所以一次操作之后,堆中存在的最大元素被分离出堆,重复n-1次之后,数组排列完毕。整个流程如下:
Heap-Sort
用 JavaScript 描述如下:
- function heapSort(array, heapSize) {
- buildMaxHeap(array, heapSize);
- for (int i = heapSize - 1; i > 0; i--) {
- swap(array, 0, i);
- maxHeapify(array, 0, i);
- }
- }
最后,把上面的整理为完整的 javascript 代码如下:
- function heapSort(array) {
- function swap(array, i, j) {
- var temp = array[i];
- array[i] = array[j];
- array[j] = temp;
- }
- function maxHeapify(array, index, heapSize) {
- var iMax, iLeft, iRight;
- while (true) {
- iMax = index;
- iLeft = 2 * index + 1;
- iRight = 2 * (index + 1);
- if (iLeft < heapSize && array[index] < array[iLeft]) {
- iMax = iLeft;
- }
- if (iRight < heapSize && array[iMax] < array[iRight]) {
- iMax = iRight;
- }
- if (iMax != index) {
- swap(array, iMax, index);
- index = iMax;
- } else {
- break;
- }
- }
- }
- function buildMaxHeap(array) {
- var i, iParent = Math.floor(array.length / 2) - 1;
- for (i = iParent; i >= 0; i--) {
- maxHeapify(array, i, array.length);
- }
- }
- function sort(array) {
- buildMaxHeap(array);
- for (var i = array.length - 1; i > 0; i--) {
- swap(array, 0, i);
- maxHeapify(array, 0, i);
- }
- return array;
- }
- return sort(array);
- }
来源: https://juejin.im/entry/5a1b93ec6fb9a044fc4474cf